Cikkek

7.2: Parabolas - Matematika


Az ellipszishez hasonlóan parabolákat is látott (pl. Az ellipszis alternatív meghatározása, amelyet a 7.1. Szakasz [exer: ellipdirectrix] gyakorlat ismertet, valójában hasonló a parabola meghatározásához:

A [ábra: parabolavert] ábra szemlélteti a fenti meghatározást, a (P ) ponttal a parabola mentén mozogva úgy, hogy a (P ) és a fókusz (F ) közötti távolság megegyezzen a (P ) távolsággal a direktrixhoz (D ). Vegye figyelembe, hogy a fókusz és a direktrix között félúton lévő pontnak a parabolán kell lennie - ez a pont a csúcs, amely a parabola direktrixhoz legközelebb eső pontja. A tengely a parabola az a vonal, amely áthalad a fókuszon és merőleges a direktrixra. Figyeljük meg, hogy a ( frac {PF} {PG} ) arány 1-nek felel meg, míg az ellipszis aránya - az alternatív meghatározás szerint - az excentricitás volt (e <1 ). A különcség a parabola értéke tehát mindig 1.4

Parabola szerkesztéséhez a definícióból vágjon el egy karakterláncot, amelynek hosszúsága (AB ) megegyezik a rajzoló háromszög egyik oldalával, mint az [ábra: paraboladraw] ábrán látható.

Rögzítse a húr egyik végét a háromszög csúcsához (A ), a másik végét pedig egy csaphoz, amely valahol (A ) és (B ) között van - a csap lesz a fókusz (F ) a parabola. Tartsa a húrt feszesen a háromszög széléhez ( overline {AB} ) a csap mindkét oldalán található (P ) pontban, majd mozgassa a háromszög szélét ( overline {BC} ) a direktrix (D ) mentén. A megrajzolt ábra parabola lesz, mivel a (PF ) és a (PB) hosszúság egyenlő lesz (mivel a karakterlánc hossza (AB = AP + PF ) azt jelenti, hogy ((PF = PB ) ). A (xy ) - síkbeli parabola egyenletének levezetéséhez kezdje az (y ) - tengely fókuszának egyszerű esetével a ((0, p) ) pontnál, a (p> 0 ), és az (y = -p ) egyenes mint direktrix, mint a jobb oldali ábrán. A csúcs ekkor az origón ((0,0) ) van. Válasszon ki egy pontot ((x, y) ), amelynek távolságai (d_1 ) és (d_2 ) a fókusztól ((0, p) ) és a direktrix (y = -p ), egyenlőek. Azután

[ kezdődik {igazítva} d_1 ^ 2 ~ & = ~ d_2 ^ 2 (x-0) ^ 2 ~ + ~ (yp) ^ 2 ~ & = ~ (xx) ^ 2 ~ + ~ (y + p ) ^ 2 x ^ 2 ~ + ~ cancel {y ^ 2} ~ - ~ 2py ~ + ~ cancel {p ^ 2} ~ & = ~ cancel {y ^ 2} ~ + ~ 2py ~ + ~ cancel {p ^ 2} x ^ 2 ~ & = ~ 4py end {aligned} ] Más szavakkal (y = frac {1} {4p} x ^ 2 ), ami még inkább a parabola ismert formája. Így az (y = ax ^ 2 ) alak bármely görbéje, a (a ne 0 ) jelzéssel, egy parabola, amelynek fókusza és direktrixa megtalálható úgy, hogy elosztjuk (a ) (4 ) -vel : (p = frac {a} {4} ), így a fókusz ( balra (0, frac {a} {4} jobbra) ), a direktrix pedig a ( y = - frac {a} {4} ). Például a (y = x ^ 2 ) parabola fókusza a ( left (0, frac {1} {4} right) ), és a direktvonala az (y = - frac {1} {4} ).

Amikor (p> 0 ) a parabola (4py = x ^ 2 ) felfelé nyúlik; (p <0 ) esetén lefelé nyúlik, ahogy az alábbi [ábra: parabolap] (a) ábra mutatja:

A (z) (x ) és (y ) szerepkörök váltása a (4px = y ^ 2 ) parabolt eredményezi, amelynek középpontjában a ((p, 0) ) és a direktrix (x = -p ) áll. . (P> 0 ) esetén ez a parabola jobbra, míg (p <0 ) esetén balra terjed. Lásd [ábra: parabolap] (b) és (c) ábra.

Gyakorlatként hagyják megmutatni, hogy általában az (y = ax ^ 2 + bx + c ) alakú görbe parabola. Csakúgy, mint nem minden ovális forma ellipszis, nem minden „kupás” vagy „U” alak parabola (pl. (Y = x ^ 4 )). A (4py = x ^ 2 ) parabola meredeksége ( dydx = frac {2x} {4p} = frac {x} {2p} ), így az érintő egyenesének egyenlete parabola egy ((x_0, y_0) ) pontban:

[ kezdődik {igazítva} y ~ - ~ y_0 ~ & = ~ frac {x_0} {2p} , (x - x_0) nonumber 2p , (y-y_0) ~ & = ~ x_0x ~ - ~ x_0 ^ 2 nonumber 2py ~ - ~ 2py_0 ~ & = ~ x_0x ~ - ~ 4py_0 nonumber 2p , (y + y_0) ~ & = ~ x_0x label {eqn: parabtangenty} end {igazítva } ] Hasonlóképpen, ha megváltoztatja az (x ) és (y ) szerepköröket, akkor a (4px = y ^ 2 ) parabola tangens vonala egy ((x_0, y_0) ) pontban a következő:

[ label {eqn: parabtangentx} 2p , (x + x_0) ~ = ~ y_0y ] Képlet ([eqn: parabtangentx]) leegyszerűsíti a reflexiós tulajdonság parabolák esetében: a fókusztól a parabola bármely pontjáig ragyogott fény a parabola tengelyével párhuzamos úton fog visszaverődni. A [ábra: parabreflect] ábra mutatja a fókuszból kiáramló fényt (F = (p, 0) ), és visszatükrözi a (4px = y ^ 2 ) parabola egy pontját (P = (x_0, y_0) ). ). Ha ez a reflexiós vonal párhuzamos az (x ) - tengellyel - a parabola tengelyével -, akkor a ((x_0, y_0) ) pontnál lévő parabola érintővonalának ugyanezt a szöget kell megadnia ( beta ) a reflexiós vonallal, mint az (x ) - tengellyel. Tehát nyújtsa ki az érintő vonalat az (x ) - tengely metszéspontjához, és az [[eqn: parabtangentx]] képlettel keresse meg az (x ) - metszést:

[2p , (x + x_0) ~ = ~ y_0y ~ = ~ y_0 cdot 0 ~ = ~ 0 quad Rightarrow quad x ~ = ~ -x_0 ] Legyen (Q = (- x_0,0) ), így az (FQ ) távolság megegyezik (p + x_0 ). A cél annak bemutatása, hogy a beesési szög ( szög FPQ ) megegyezik a visszaverődés szögével ( beta). A gyújtótávolság ( overline {FP} ) hossza

[FP ~ = ~ sqrt {(p-x_0) ^ 2 + (0-y_0) ^ 2} ~ = ~ sqrt {p ^ 2 - 2px_0 + x_0 ^ 2 + 4px_0} ~ = ~ sqrt {p ^ 2 + 2px_0 + x_0 ^ 2} ~ = ~ p + x_0 ~. ] Így (FQ = FP ) a háromszögben ( triangle FPQ ), így ( angle FPQ = angle FQP = beta ), vagyis a fény útja valóban megfelel Fermat elvének az ívelt felületeknél. ( quad checkmark )

A parabola tükröződési tulajdonsága bizonyos mérnöki alkalmazásokban megmutatkozik, jellemzően úgy, hogy a parabola egy részét a tengelye körül forgatja, és három dimenzióban parabolikus felületet hoz létre. paraboloid. Például az volt a szokásos, hogy a jármű fényszórói paraboloidokat használtak a belső fényvisszaverő felületükhöz, izzóval a fókuszban, hogy a fényvisszaverő tulajdonság révén a fény egyenesen előre haladjon szilárd sugárban. Sok elemlámpa még mindig ezen az elven működik. A visszaverődés az ellenkező irányban is működik, ezért a parabolaantennák és a rádióteleszkópok gyakran széles paraboloidok, fókuszban egy jelvevővel, hogy maximalizálják a beérkező visszavert jelek.

Példa ( PageIndex {1} ): parabenvelope

Add ide a szöveget.

Megoldás

Tegyük fel, hogy egy tárgyat kezdeti sebességgel indítanak a talajról (v_0 ) és változó szögben a talajjal. Mutassa meg, hogy az összes lehetséges pálya családja - amelyek parabolikusak - olyan régiót alkotnak, amelynek határa (ún boríték a pályák közül) maga is parabola.

Megoldás: Felidézés a példából

Példa ( PageIndex {1} ): minmax3

Add ide a szöveget.

Megoldás

a 4.1 szakaszban, hogy ha az objektumot a talajjal (0 < theta < frac { pi} {2} ) szögben indítjuk, akkor az objektum által elért magasság (y ) a a megtett vízszintes távolságot (x) megadja

[y ~ = ~ - frac {gx ^ 2} {2v_0 ^ 2 cos ^ 2 , theta} ~ + ~ x tan , theta ~. ] A görbe parabola, az ábrával jobb oldalon a parabolikus pályák megjelenítése a ( theta ) szög 500 értékénél. Minden parabola egyértelműen metszi egymást legalább egymással. A maximális vízszintes távolság ( frac {v_0 ^ 2} {g} ) csak ( theta = frac { pi} {4} ) esetén fordul elő, amint az látható példában

Példa ( PageIndex {1} ): minmax3

Add ide a szöveget.

Megoldás

. A maximális függőleges magasságot ( frac {v_0 ^ 2} {2g} ) akkor érjük el, amikor az objektum egyenesen elindul (azaz ( theta = frac { pi} {2} )), amint az látható az 5.1. szakasz [exer: projmax0] gyakorlatában. Szimmetria alapján csak a (0 < theta le frac { pi} {2} ) szögeket kell figyelembe venni ugyanabban a függőleges síkban. Tehát képzelje el a fenti ábrán, hogy az összes lehetséges szög pályája szerepel-e, feltöltve egy olyan régiót, amelynek parabolikus határa van. Ez most igaznak bizonyul.

Először kiderül, hogy a (0 < theta < frac { pi} {2} ) összes parabolájának ugyanaz a direktrixa (y = frac {v_0 ^ 2} {2g} ). Hogy megtudja, miért, emlékezzen vissza a 4.1 szakasz [exer: projmaxangle] gyakorlatából, hogy az objektum által elért maximális magasság ( frac {v_0 ^ 2 , sin ^ 2 theta} {2g} ), ami így a parabola csúcsának (y ) koordinátája. Ez a csúcs a fókusz és a direktrix között félúton van. A parabola formája (4py = x ^ 2 + bx ), ahol (b ) olyan állandó, amely nem befolyásolja a csúcs és a direktrix távolságát5, és a (4p ) konstans (p <0 ) értékkel, így a direktrix (- p ) egységekkel van a csúcs felett (mivel (p <0 )), ugyanúgy, mint a (4py = x ^ 2 ). A parabola egyenlete ezt mutatja

[ frac {1} {4p} ~ = ~ - frac {g} {2v_0 ^ 2 cos ^ 2 , theta} quad Rightarrow quad p ~ = ~ - frac {v_0 ^ 2 cos ^ 2 , theta} {2g} ] úgy, hogy a direktrix a

[ begin {aligned} y ~ & = ~ text {$ y $ -csúcskoordinátája} ~ + ~ (-p) & = ~ frac {v_0 ^ 2 , sin ^ 2 theta } {2g} ~ + ~ - balra (- frac {v_0 ^ 2 cos ^ 2 , theta} {2g} jobbra) ~ = ~ frac {v_0 ^ 2} {2g} ( sin ^ 2 theta ~ + ~ cos ^ 2 , theta) y ~ & = ~ frac {v_0 ^ 2} {2g} end {aligned} ] Talán meglepő, hogy az összes parabolikus pálya megosztja a ugyanaz a direktrix (y = frac {v_0 ^ 2} {2g} ), amely független a ( theta ) szögtől. Vegye figyelembe, hogy az egyes csúcsok magassága ( left ( frac {v_0 ^ 2 , sin ^ 2 theta} {2g} right) ) és fókusz ( left ( frac {v_0 ^ 2} { 2g} ( sin ^ 2 theta - cos ^ 2 , theta) right) ) csinálni függ ( theta ). A közös direktrix a bizonyíték fennmaradó részének kulcsa. Legyen (P ) egy pont az (xy ) sík első negyedében a közös direktrix (y = frac {v_0 ^ 2} {2g} ) alatt, amelyet (D ). Ekkor a (P ) lehet a borítékon belül, kívül vagy rajta, ahogy a [ábra: boríték3] ábra mutatja:

Az origó (O = (0,0) ) az egyes pályákon található, tehát egy parabola meghatározása szerint az összes pályának a fókuszának távolságának ( frac {v_0 ^ 2} {2g} ) kell lennie (O ), azaz a (z) (O) és a (D) közötti távolság. Vagyis az összes pálya fókuszának a (O ) középpontú (C frakt {v_0 ^ 2} {2g} ) sugarú körön kell elhelyezkednie. Ha a (P ) bármely más pont a borítékon belül, tehát legalább egy pályán fekszik, akkor annak (r> 0 ) távolságnak kell lennie a (D ) vonal alatt. A parabola definíciója szerint a (P) egyforma távolságra kell lennie minden olyan pálya fókuszától, amelyhez tartozik. Vagyis a fókuszoknak egy (R) sugarú körön ( r) kell lennie, amelynek középpontja (P ), és megérinti a direktrixot (D), ahogy az az ábrán látható: [ábra: envfoci3]:

Az [ábra: envfoci3] ábrán (a) (C ) és (C_0 ) két pontban metszenek (F_1 ) és (F_2 ), tehát (P ) két pályához tartozik; (P ) ekkor kell belül a boríték. Az [ábra: envfoci3] (b) (C ) és (C_0 ) ábrák nem keresztezik egymást, ezért (P ) kívül a boríték (mivel nem egy (C_0 ) -ra fókuszáló parabolán van). Ha a (C ) és a (C_0 ) csak egy pontban metszik egymást (F ), amint az az [ábra: envfoci3] (c) ábrán látható, akkor a (z) tovább a boríték. Ebben az esetben a (P ) távolság (r + frac {v_0 ^ 2} {2g} ) (O ) és (P ) és a ( y = frac {v_0 ^ 2} {g} ) ( (L ) jelöléssel). Így a parabola definíciója szerint a (P) egy (O ) és direktrix (L ) fókuszú parabolán van. A csúcs ( balra (0, frac {v_0 ^ 2} {2g} jobbra) ) van. Ezért a boríték parabola: az árnyékolt terület határa a jobb oldali ábrán. ( Quad checkmark )

Példában

Példa ( PageIndex {1} ): parabenvelope

Add ide a szöveget.

Megoldás

az összes pálya csak az (xy ) síkban volt. Ennek a korlátozásnak a megszüntetése, hogy az (y ) - tengelyen átmenő összes függőleges síkban lehetségesek legyenek a pályák, szilárd paraboloidot eredményezne, amely az origó összes lehetséges pályáját tartalmazza. A parabolák a felfüggesztési hidakban is megjelennek: a vízszintes hidat tartó függőleges függesztőkábeleknek (függőleges harisnyatartókon keresztül, mint a jobb oldali ábrán) parabolának kell lenniük, ha a híd súlya egyenletesen oszlik el.6

[sec7dot2]

Készítsen egy parabolát az [ábra: paraboladraw] ábrán látható eljárással.

A 2-6. Gyakorlat esetében vázolja fel az adott parabola grafikonját, és adja meg a fókusz, a csúcs és a direktrix pontos helyét. [[1.]]

5

(8y = x ^ 2 )

(y = 8x ^ 2 )

(x = y ^ 2 )

(x = -3y ^ 2 )

(- 1000y = x ^ 2 )

Keresse meg a (4py = x ^ 2 ) és (4px = y ^ 2 ) parabolák metszéspontjait, amikor (p> 0 ). Mi az egyenlet a pontokon átmenő egyenesen?

A paraboloid alakú jármű fényszórója 3 hüvelyk mély, nyitott éle 8 hüvelyk átmérőjű. Az izzó középpontját hova kell helyezni, hogy a csúcshoz képest hüvelykben mérve fókuszban legyen?

A latus rectum egy parabola az akkord, amely áthalad a fókuszon és párhuzamos a direktrixszal. Keresse meg a latus végbél hosszát a (= 4py = x ^ 2) parabola számára.

Mutassa meg, hogy az a kör, amelynek átmérője a parabola latus rectumja, egy ponton érinti a parabola direktrixát.

Keresse meg a (4px = y ^ 2 ) parabola pontjait úgy, hogy az ezekhez a pontokhoz tartozó fókuszsugarak azonos hosszúságúak legyenek, mint a latus rectum.

A parabola végbél végbélének mindkét végéből húzzon egy vonalat a direktrix és a tengely metszéspontjáig. Mutassa meg, hogy a két húzott vonal merőleges. [[1.]]

Mutassa meg, hogy a parabola bármely pontja nulla vagy két érintő vonala van a parabola felé.

Mutassa meg, hogy (y = mx-2mp-m ^ 3p ) a parabola (4px = y ^ 2 ) normális lejtésvonala (m ).

A (V ) csúcsú parabola (P ) pontjától ( overline {PQ} ) legyen az a szakasz, amely merőleges a tengelyre egy pontban (Q ). Mutassa meg, hogy a (PQ ^ 2 ) megegyezik a (QV) szorzatának és a végbél végbélének szorzatával.

Mutassa meg, hogy az (y = ax ^ 2 + bx + c ) görbe egy (a ne 0 ) parabola, csak egy parabola definícióját használva. Keresse meg a fókuszt, csúcsot és direktrixot.

Mutassa meg, hogy a parabola párhuzamos akkordcsaládjának összes középpontjainak halmaza a parabola tengelyével párhuzamos vonalon fekszik.


Algebra II: Parabolák ábrázolása

A következők mindegyike a lefelé néző parabolák KIVÉTELE:

A lefelé nyíló parabola általános képlettel rendelkezik

mivel a kifejezés előtti negatív előjel megfordítja a parabolát a vízszintes tengely körül.

Ezzel szemben a forma parabola a függőleges tengely körül forog, nem pedig a vízszintes tengely körül.

Ezért nem egy parabola egyenlete nyílik lefelé.

1. példa: A másodfokú függvények ábrázolása

Ennek a parabolikus funkciónak a csúcsa a következő helyen található:

Bármely parabola esetében az általános egyenlet az

, és csúcsának x-koordinátáját a

Az adott feladathoz az x koordináta az

Az y-koordináta megtalálásához csatlakoztassa az eredeti egyenlethez:

Ezért a csúcs a.

1. példa kérdés: Parabolák ábrázolása

Melyik irányban nyílik a fenti egyenlet által leírt parabola grafikonja?

A parabolák vagy formában lehetnek

függőleges parabolákhoz vagy formában

vízszintes parabolákhoz. Mivel a probléma által kapott egyenletnek y-négyzet tagja van, de nem x-négyzetes tagjának, tudjuk, hogy ez egy vízszintes parabola. A vízszintes parabola szabályai a következők:

  • Ha, akkor a vízszintes parabola jobbra nyílik.
  • Ha, akkor a vízszintes parabola balra nyílik.

Ebben az esetben az y-négyzet tag előtti együttható pozitív lesz, ha elkülönítjük az x-et. Ettől ez egy vízszintes, jobbra nyíló parabola.

1. példa kérdés: Parabolák ábrázolása

Keresse meg a következő másodfokú egyenlet csúcsformáját:

2. tényező GCF-ként az első két kifejezésből:

Most a négyzetet úgy egészítjük ki, hogy hozzáadunk 4-et a zárójelben lévő kifejezéshez, és kivonunk 8-ot (mert), ami a következő egyenletet eredményezi:

Ezért a csúcs a

1. példa: Másodfokú függvények

Az alábbi ábra alapján melyik vonal ábrázolja a másodfokú függvényt?

A parabola a másodfokú függvény egyik példája, függetlenül attól, hogy felfelé vagy lefelé mutat-e.

A piros vonal másodfokú függvényt képvisel, és hasonló képlete lesz.

A kék vonal egy lineáris függvényt képvisel, és hasonló képlete lesz.

A zöld vonal exponenciális függvényt képvisel, és hasonló képlete lesz.

A lila vonal abszolút értékfüggvényt képvisel, és hasonló képlete lesz.

8. példa: A másodfokú függvények ábrázolása

Az alábbi parabolák közül melyik néz lefelé?

Meghatározhatjuk, hogy a parabola felfelé vagy lefelé néz-e, ha megnézzük a kifejezés együtthatóját. Akkor és csak akkor lesz lefelé néző, ha ez az együttható negatív. Vigyázzon a válasz megválasztásával. Emlékezzünk arra, hogy ez azt jelenti, hogy a zárójelben lévő teljes érték négyzetre kerül. És negatív, negatív idő esetén pozitív lesz. Így ez egyenértékű. Ezért választ kell adnunk.

Példa a 3321. kérdésre: Algebra 1

Mi a függvény csúcsa? Ez maximum vagy minimum?

A parabola egyenlete csúcs alakban írható:.

A pont ebben a formátumban a csúcs. Ha posztív szám, akkor a csúcs minimum, és ha negatív szám, akkor a csúcs maximum.

Ebben a példában. A pozitív érték azt jelenti, hogy a csúcs minimum.

1. példa kérdés: Parabolák ábrázolása

Hány fogalmat csinál a függvény grafikonja

A másodfokú függvény grafikonjának minden pontján van egy -intercepció, ahol először a másodfokú kifejezést állítsa 0-ra:

A grafikon -fogalmainak száma megegyezik a fenti egyenlet valós nulláinak számával, amely meghatározható az egyenlet diszkriminánsának értékelésével,. Állítsa be és értékelje:

A diszkrimináns negatív, ezért az egyenletnek két megoldása van, egyik sem valós. Következésképpen a függvény grafikonjának nincsenek -fogalmai.

Példa a 43. kérdésre: Funkciók és vonalak

Az alábbi grafikonok közül melyik felel meg a függvénynek?

Kezdje a függvényhez tartozó grafikon megjelenítésével:

A négyzetes x-változóhoz tartozó zárójelben lévő kifejezések vízszintesen eltolják a parabolát, míg a zárójelen kívüli kifejezések függőlegesen. A megadott egyenletben 2 a zárójelen kívül helyezkedik el, és kivonásra kerül a zárójelben található kifejezésekből, ezért a grafikonon látható parabola 2 egységgel lefelé tolódik. Egyszerűsített grafikon a következőképpen néz ki:

Ne feledje, hogy a zárójelben van egy kifejezés is. A zárójelben az 1-et kivonják az x-változóból, így a grafikonon látható parabola 1 egységgel jobbra tolódik. Ennek eredményeként a következő grafikon illeszkedik az adott függvényhez:

Minden Algebra II erőforrás

Jelentsen egy problémát ezzel a kérdéssel

Ha problémát talált ezzel a kérdéssel, kérjük, tudassa velünk. A közösség segítségével tovább javíthatjuk oktatási erőforrásainkat.


7.2: Parabolas - Matematika

C i a Ǚ ݜ = N (% q l.] Ƌ @ A mD̝ b 2pI o h D NȌ ( ʂ < ! & s oö̈ ::: m @ > = ) > / MediaBox [0 0 612 792] / Parent 2919 0 R / Erőforrások> / Betűtípus> / ProcSet [/ PDF / Szöveg / ImageB / ImageC / ImageI] / XObject> >> / Rotate 0 / StructParents 30 / Tabs / S / Type / Page >> endobj 32 0 obj> stream x YmO H ) a? e > _ @ @ $ N ]? JCB + 1g 7c K P $ 83 L'7 " g2 ؄ D B B.

: >> TFB ( y H3, i ) > 5 > $ p 0 # yo F $> Zcw9 Ր h 0g] i' = v 8 Z u2W8 S R7 ud`L G8E8dOð # h XOS A05 o0 V ) 푨 @ v u j ű 6 a + 4 y / C 1 R GaWA V z ... 0 DWq? YJ _ 1 P z> / MediaBox [0 0 612 792] / Parent 2920 0 R / Resources> / Betűtípus> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageB / ImageC / ImageI] / XObject >>> / Rotate 0 / StructParents 37 / Tabs / S / Type / Page >> endobj 56 0 obj> stream x ZYO I

m w oh ] > ? F_J l ? endobj 57 0 obj [0 0 612 792] / Szülő 2920 0 R / Erőforrások> / Betűtípus> / ProcSet [/ PDF / Szöveg / KépB / KépC / KépI] / XObject >>> / Forgatás 0 / StructParents 38 / Lapok / S / Típus / Oldal >> endobj 58 0 obj> stream x Y [O X

) 4I e - $ aKy 2 - / n0 s U < ժ Ļs # / X] i | > | MediaBox [0 0 612 792] / Parent 2921 0 R / Resources> / Betűtípus> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageB / ImageC / ImageI] >> / Rotate 0 / StructParents 39 / Tabs / S / Type / Page >> endobj 60 0 obj> stream x Kk @ rf y hh daAs w, f3 ) ! h = B ! 1 ') ҉ & 5 2 z * bJ ϫ ? ? Forgatás 0 / StructParents 40 / Tabs / S / Type / Page >> endobj 62 0 obj> stream x mo 6 n m e SJ = =

0 x endstream endobj 66 0 obj> / MediaBox [0 0 612 792] / Parent 2921 0 R / Resources> / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageB / ImageC / ImageI] >> / Rotate 0 / StructParents 41 / Tabs / S / Type / Page >> endobj 67 0 obj> stream x ] n 7> Ǚ x ˗ 8 Q_X v'p "͐u b թ b ݾ xv xx

: Arg PMke *”Vx ެ / J7] ޮ ) O Q7 Z endstream endobj 80 0 obj> / Font >>> / Rotate 0 / StructParents 44 / Tabs / S / Type / Page >> endobj 81 0 obj> stream H r F sl . , ʮZW ! v

Endstream endobj 86 0 obj> stream HKTTO 1

? - .j 6h3x X ݈ Kx 4 + M àIb, . > stream h 22 P0P 0 A f BY @ (K0ei ! 0 endstream endobj 94 0 obj> / Font >>> / Rotate 0 / StructParents 47 / Tabs / S / Type / Page >> endobj 95 0 obj> stream H W [s

$ C wabGa DAk2, k ާ P P ? o / | xE ݿ q 7 r ߹` v > T C # S Qu? ޗ ! E B> Ϫ 3 | ˗ % & E / ܬ 2Nc ض B ` | Endstream endobj 96 0 obj> / Font >>> / Rotate 0 / StructParents 48 / Tabs / S / Type / Page >> endobj 97 0 obj> stream H W o H

r endstream endobj 134 0 obj> / Font >>> / Rotate 0 / StructParents 53 / Tabs / S / Type / Page >> endobj 135 0 obj> stream H W o 6 | B -

endstream endobj 153 0 obj> stream x ] R n 0 > lC YJ 8 $

endstream endobj 164 0 obj> stream H ۊ 0 q > O ( # 8a - E .. K J bK Yx C ߼ ? O C T

K i "S P څ = - / t jSUe ˶T U my D5 j 6 & j J DSu_Ϊ y ˨˜! G > közvetítés 2018-06-04T11: 25: 43-07: 00 2018-06-04T11: 25: 40-07: 00 2018-06-04T11: 25: 43-07 : 00 Acrobat PDFMaker 11 for Word uuid: ef3c4a46-1d26-48ed-b16b-fae2e3bddd61 uuid: 805bd8dc-9abc-4693-904c-54cc021678d5 6 alkalmazás / pdf Kim Aalto

endstream endobj 170 0 obj> stream 2016-12-15T15: 26: 52-08: 00 2016-12-15T15: 26: 52-08: 00 2016-12-15T15: 26: 52-08: 00 Acrobat PDFMaker 11 for Szó uuid: 9d9fadfe-8cf4-44e1-8478-408e1692e505 uuid: 7ed2fa75-4c6e-4801-b3aa-7d409d494696 3 alkalmazás / pdf Kim Aalto

endstream endobj 171 0 obj> stream 2018-01-11T09: 45: 26-08: 00 2018-01-11T09: 45: 25-08: 00 2018-01-11T09: 45: 26-08: 00 Acrobat PDFMaker 11 for Word uuid: 58ff7f56-803e-4d82-a6bb-040d023c7edd uuid: e7555a1b-e0d1-435a-b6f2-366629413ae9 5 alkalmazás / pdf David Hobbs

endstream endobj 172 0 obj> stream 2018-01-11T09: 43: 41-08: 00 2018-01-11T09: 43: 40-08: 00 2018-01-11T09: 43: 41-08: 00 Acrobat PDFMaker 11 for Word uuid: 768828ef-76bf-4c17-8113-b85bae15179f uuid: 1e5aeadd-c23d-4895-ad64-a37a70098256 7 alkalmazás / pdf David Hobbs

endstream endobj 173 0 obj> stream 2016-12-15T15: 24: 16-08: 00 2016-12-15T15: 24: 14-08: 00 2016-12-15T15: 24: 16-08: 00 Acrobat PDFMaker 11 for Word uuid: 8b7fcba1-2973-4a12-8c10-075b412513b6 uuid: 8b1077a3-88dc-4e1b-957f-28e303cd3335 5 alkalmazás / pdf clovis

Clovis Egységes Iskolai Körzet

endstream endobj 174 0 obj> stream 2016-12-15T15: 23: 24-08: 00 Microsoft® Word 2013 2016-12-15T15: 23: 24-08: 00

clovis endstream endobj 175 0 obj> stream 2016-12-15T15: 20: 44-08: 00 Microsoft® Word 2013 2016-12-15T15: 20: 44-08: 00

Windows User endstream endobj 176 0 obj> stream 2018-06-04T11: 23: 05-07: 00 2018-06-04T11: 23: 05-07: 00 2018-06-04T11: 23: 05-07: 00 Acrobat PDFMaker 11 for Word uuid: 38fb21ff-285e-45d7-9dea-cd1c91302ab6 uuid: a8037eb3-c8e2-4264-b119-a6c7b158e602 6 alkalmazás / pdf Windows felhasználó

Clovis Egységes Iskolai Körzet

endstream endobj 177 0 obj> stream 2016-12-15T15: 18: 34-08: 00 Microsoft® Word 2013 2016-12-15T15: 18: 34-08: 00

Windows User endstream endobj 178 0 obj> stream 2018-01-11T09: 41: 21-08: 00 2018-01-11T09: 41: 19-08: 00 2018-01-11T09: 41: 21-08: 00 Acrobat PDFMaker 11 a Word-hez: 9ee0be5e-7a2d-45e1-812e-f30840b4b895 uuid: 3ccd0c10-c0f0-4278-9cf1-4f5718ad0297 8 application / pdf clovis

Clovis Egységes Iskolai Körzet

endstream endobj 179 0 obj> stream 2018-01-11T09: 32-08: 00 2018-01-11T09: 31: 59-08: 00 2018-01-11T09: 32-08: 00 Acrobat PDFMaker 11 for Word uuid: a8927ac4 -dd52-4dd7-93dd-8bec5725c3da uuid: 64ece195-90d6-4dee-8a67-9904c2489728 15 alkalmazás / pdf clovis

Clovis Egységes Iskolai Körzet

endstream endobj 180 0 obj> stream 2018-01-10T12: 39: 37-08: 00 2018-01-10T12: 39: 36-08: 00 2018-01-10T12: 39: 37-08: 00 Acrobat PDFMaker 11 for Szó uuid: b9b8320d-e636-408b-a1b8-823f69bdd608 uuid: f9e46867-729e-4941-a478-94c438535dfe 2 alkalmazás / pdf Kim Aalto


  • ha (a> 0 ): van egy maximális pont
  • ha (a Lásd: Megoldott megoldás

Megoldás

  1. Az (x ^ 2 ) együttható (2 ). (2> 0 ) óta ez a parabola csúcsa a minimális pont.
  2. A csúcs koordinátáinak megkereséséhez kövessük a továbbiakban olvasható két lépést:
    • 1. lépés: kiszámoljuk a csúcs (x ) - koordinátáját, (h ) a következő képlettel: [h = frac <-a> <2a> ] Nézzük (y = 2x ^ 2 - 4x -6 ), azt látjuk, hogy: [a = 2, b = -4, c = -6 ] Tehát az (x ) - koordináta képlete: [ begin h & = frac <-> <2a> & = frac <- (- 4)> <2 -szer 2-szer> & = frac <4> <4> h & = 1 vége] Tehát a (x ) - koordinátája csúcs értéke (h = 1 ).
    • 2. lépés: kiszámítjuk a csúcs (y ) koordinátáját úgy, hogy (x ) -et (1 ) -re cseréljük le (y = 2x ^ 2-4x-6 ) belül, és kiszámoljuk az (y ) értékét .


DMCA panasz

Ha úgy gondolja, hogy a Weboldalon keresztül elérhető tartalom (az Általános Szerződési Feltételeinkben meghatározottak szerint) sérti az Ön egyik vagy több szerzői jogát, kérjük, értesítsen minket az alábbiakban ismertetett információkat tartalmazó írásbeli értesítéssel („Jogsértésről szóló értesítés”) a kijelölt az alább felsorolt ​​ügynök. Ha a Varsity oktatók intézkedéseket tesznek a szabálysértési közleményre reagálva, akkor jóhiszeműen megpróbálja felvenni a kapcsolatot azzal a féllel, amely az ilyen tartalmat elérhetővé tette, az adott fél által a Varsity Tutors részére adott legfrissebb e-mail címen, ha van ilyen.

A szabálysértési értesítést továbbíthatjuk a tartalmat elérhetővé tevő félnek vagy harmadik feleknek, például a ChillingEffects.org-nak.

Felhívjuk figyelmét, hogy felelősséggel tartozik a károkért (beleértve a költségeket és az ügyvédi díjakat is), ha lényegesen hamisan állítja, hogy egy termék vagy tevékenység sérti az Ön szerzői jogait. Így, ha nem biztos abban, hogy a Webhelyen található vagy ahhoz linkelt tartalom sérti az Ön szerzői jogait, akkor fontolja meg először az ügyvédhez való fordulást.

Az értesítés benyújtásához kövesse az alábbi lépéseket:

A következőket kell tartalmaznia:

A szerzői jog tulajdonosának vagy a nevükben eljárni jogosult személynek a fizikai vagy elektronikus aláírása A szerzői jogok megsértését állító személyek azonosítása A tartalom jellegének és pontos helyének leírása, amely állítólagosan megsérti a szerzői jogait részlet, amely lehetővé teszi a Varsity oktatók számára, hogy megtalálják és pozitívan azonosítsák ezt a tartalmat, például szükségünk van egy linkre az adott kérdéshez (nem csak a kérdés nevéhez), amely tartalmazza a tartalmat és a kérdés melyik részének leírását - egy képet, egy képet link, a szöveg stb. - panasza az Ön nevére, címére, telefonszámára és e-mail címére, valamint az Ön nyilatkozatára vonatkozik: (a) jóhiszeműen hisz abban, hogy az Ön által a szerzői jogait sértőnek tartott tartalom felhasználása törvény, a szerzői jog tulajdonosa vagy a tulajdonos képviselője nem engedélyezi (b), hogy a szabálysértési közleményében szereplő összes információ pontos, és (c) hamis tanúzás büntetése alatt áll, hogy Ön vagy a szerzői jog tulajdonosa vagy a nevükben eljárni jogosult személy.

Küldje el panaszát kijelölt ügynökünknek a következő címen:

Charles Cohn Varsity Tutors LLC
101 S. Hanley Rd, 300-as lakosztály
St. Louis, MO 63105


Hasonló kérdések

Algebra

Vizsgáljuk meg az y = ax ^ 2 + bx + c egyenlet grafikonját, amikor az a nem egyenlő 0. Ha a szorozzuk 3-mal, mi igaz a kapott parabola grafikonjára? (A) A csúcs 3 egységgel van az eredeti csúcsa felett. (B) Az új

Algebra

Néhány további kérdés, mint például, ha valaki ellenőrizné, kérem. 1) mekkora a parabola csúcsa, fókusza és direktrixa az adott egyenlettel? x ^ 2-8x-28y-124 = 0 csúcs (4, -5) fókusz (0,7) direktrix y = -12 2) írjon egy

Algebra

Az f (x) = x ^ 2-4x + 3 által ábrázolt parabola csúcsának koordinátái (2, -1). Keresse meg a parabola csúcsának g (x) = f (x-2) által definiált koordinátáit. Magyarázza el, hogyan jutott el a válaszához. Kérdésem: Megmozdítaná a

Számítás

Keresse meg a másodfokú függvények kifejezéseit, amelyek grafikonjai megjelennek. Az egyik grafikonon azt a pontot (4,2) ábrázolják, amelyen a parabola áthalad (U alakú parabola - jobb oldal felfelé). A csúcs a (3,0) pontnál van, a parabola pedig nem

Algebra

Egy mérnök parabola keresztmetszetű parabolaantennát tervez. Az edény a nyílásnál 10 láb széles, és a fókusz 8 lábra helyezkedik el a csúcstól. A) Helyezzen el egy koordinátarendszert az origóval a csúcsban és

Az alábbiak közül melyik azonosíthatja a (-4, -6) csúcsú parabola átalakulását az (1, -6) 1) f (x) +5 2) 5f (x) 3 csúcsú parabolává ) f (x + 5) 4) f (x-5) Hozzáadtam a két x értéket. így hozzá kell adni 5-et

Algebra 2

másodfokú egyenlet írható csúcs alakban vagy standard alakban. néha az egyik forma előnyösebb, mint a másik. azonosítsa, melyik űrlap lenne hasznosabb, ha az alább felsorolt ​​feladatok elvégzésére van szüksége, és magyarázza el, miért. a.

Pre cal

Mi az a kúp közepe, amelynek egyenlete x ^ 2 + 2y ^ 2 - 6x + 8y = 0 2.Az alábbi egyenletek közül melyik képvisel hiperbolát? (5 pont) A) 3x ^ 2 + y ^ 2 + 12x - 7 = 0 B) 3x ^ 2 + 3y ^ 2 + 12x - 7 = 0 C) 3x ^ 2 + y + 12x - 7 =

Algebra

6. Keresse meg az alábbiakban ismertetett egyes parabolák egyenletét. a) parabola csúccsal (0,0) és a fókusszal (0,7) b) parabola fókusszal (-3,0) és x = 3 direktrixgal d) fókuszú parabola

Határozza meg az x metszéspontokkal + - 4 és áthaladó (3,6) parabola egyenletét

Algebra 2

A parabola egyenlete 12y = (x-1) ^ 2-48. Határozza meg a parabola csúcsát, fókuszát és direktrixát.

A parabola passes through the point (3, 5) on its way to the vertex at (7, 11). Determine the equation in vertex form that represents this parabola.


Vertex of a Parabola

The vertex of a parabola is the highest or lowest point, also known as the maximum or minimum of a parabola.

Tulajdonságok of the Vertex of a Parabola

  • is the maximum or minimum value of the parabola (see picture below)
  • is the turning point of the parabola
  • the axis of symmetry intersects the vertex (see picture below)

How to find the vertex

Depends on whether the equation is in vertex or standard form

Finding Vertex from Standard Form

The x-coordinate of the vertex can be found by the formula $ frac<-b><2a>$, and to get the y value of the vertex, just substitute $ frac<-b><2a>$, into the

Finding Vertex from Vertex Form

It's called 'vertex form' for a reason!
The vertex is just (h,k) from the equation.


Parabola Questions

If two parallel chords of a circle, having diameter 4 units, lie on the opposite sides of the centre and subtend angles cos-1 (1/7) and sec-1(7) at the centre respectively,then the distance between these chords, is : 1.16/7 2.8/7 3.4/√7 4.8/√7

and y + 3 = 3(x + 2) => 3X - y If the line y - 13x + 3 = 0) cuts the parabola y? = x + 2 at A and B, then find the value of PA.PB (where P= (13,0)> Sloofline hori 30 is 15 YA

25 10. The graph represented by the equation x=sini, y=2 cost is 1) a portion of a parabola 2) a parabola 3) a part of sine graph 4) a part of hyperbola

Q. 1. (a) Find the equation for the parabola that has vertex at (5,-3) and axis parallel to the y-axis and passes through (9,5). (61) sol Thea of the nobl who

1) 8 2)4 3) 2 22. Two parabolas have the same focus. If their directrices are the x-axis and the y-axis, respectively, then the slope of their common chord is 2) 4/3 3) 3/4 1) +1 4) +2

D) 1 73. Let S be the set of all possible values of th, parametre a for which the points of intersection of the parabolas y2 = 3ax and y=+(x++ ax+5) are concyclic then S = A) (-0,2) B) (-2,0) C) (0,2) D) (2,00) v

The number of distinct normals that can be (alb) (c) 2 tan (d) tan" (bla) (111 4²4 to the parabola drawn from y? = 4x is : (a) 3 (b) 2 (c) 1 (d) 4 The combined equation to the tangents

Q.4 third vertex ɼ' restricted to lie on the parabola y=1+ A variable AABC in the xy plane has its orthocentre at vertex ɻ', a fixed vertexɺ' at the origin and the 7x2 The point B starts at the point (0, 1) at time t=0 and moves upward along the yaxis at a constant Velocity of 2 cm/sec. How fast is the area of the 7 triangle increasing whent sec. 2

Through the vertex o of the parabola y2 = 4ax two chords OP & OQ are drawn and the circles on OP & OQ as diameter intersect in R. If 0, 0, & o are the angles made with the axis by the tangents at P & Q on the parabola & by OR, then cote, + cot , is equal to (A) -2 tano (B) - 2 tan (T-0) (C) (D) 2 coto

point and line is a parabo LEVEL-I 1. EQUATION OF PARABOLA, DIFFERENT FORMS A variable circle passes through the fixedpoint (2,0) and touches the y-axis. Then the locus of its centre is 1) a parabola 2) a circle 3) an ellipse 4) a hyperbola 20 and

3. (4 points) Provide a complete electron-pushing mechanism for the following reaction. Include by-products as they are formed. Cl2 H TH OCH CH3 CH,CH OH


Finding the Maximum and Minimum

It is often useful to find the maximum and/or minimum values of functions that model real-life applications. To find these important values given a quadratic function, we use the vertex. If the leading coefficient a is positive, then the parabola opens upward and there will be a minimum y-value. If the leading coefficient a is negative, then the parabola opens downward and there will be a maximum y-value.

6. példa: Determine the maximum or minimum: y = − 4 x 2 + 24 x − 35 .

Megoldás: Mivel a = −4, we know that the parabola opens downward and there will be a maximum y-value. To find it, we first find the x-value of the vertex.

A x-value of the vertex is 3. Substitute this value into the original equation to find the corresponding y-value.

The vertex is (3, 1). Therefore, the maximum y-value is 1, which occurs when x = 3, as illustrated below:

The graph is not required to answer this question.

7. példa: Determine the maximum or minimum: y = 4 x 2 − 32 x + 62 .

Megoldás: Mivel a = +4, the parabola opens upward and there is a minimum y-value. Begin by finding the x-value of the vertex.

Substitute x = 4 into the original equation to find the corresponding y-value.

The vertex is (4, −2). Therefore, the minimum y-value of −2 occurs when x = 4, as illustrated below:

Próbáld ezt! Determine the maximum or minimum: y = ( x − 3 ) 2 − 9 .

Videomegoldás

A parabola, opening upward or downward (as opposed to sideways), defines a function and extends indefinitely to the right and left as indicated by the arrows. Therefore, the domain (the set of x-values) consists of all real numbers. However, the range (the set of y-values) is bounded by the y-value of the vertex.

8. példa: Determine the domain and range: y = x 2 − 4 x + 3 .

Megoldás: First, note that since a = 1 is positive, the parabola opens upward. Hence there will be a minimum y-value. To find that value, find the x-value of the vertex:

Then substitute into the equation to find the corresponding y-value.

The vertex is (2, −1). The range consists of the set of y-values greater than or equal to the minimum y-value −1.

Answer: Domain: R = (−∞, ∞) range: [−1, ∞)

9. példa: The height in feet of a projectile is given by the function h ( t ) = − 16 t 2 + 72 t , where t represents the time in seconds after launch. What is the maximum height reached by the projectile?

Megoldás: Here a = − 16 , and the parabola opens downward. Therefore, the y-value of the vertex determines the maximum height. Begin by finding the x-value of the vertex:

The maximum height will occur in 9/4 = 2¼ seconds. Substitute this time into the function to determine the height attained.

Answer: The maximum height of the projectile is 81 feet.


8.3 The Parabola

Did you know that the Olympic torch is lit several months before the start of the games? The ceremonial method for lighting the flame is the same as in ancient times. The ceremony takes place at the Temple of Hera in Olympia, Greece, and is rooted in Greek mythology, paying tribute to Prometheus, who stole fire from Zeus to give to all humans. One of eleven acting priestesses places the torch at the focus of a parabolic mirror (see Figure 1), which focuses light rays from the sun to ignite the flame.

Parabolic mirrors (or reflectors) are able to capture energy and focus it to a single point. The advantages of this property are evidenced by the vast list of parabolic objects we use every day: satellite dishes, suspension bridges, telescopes, microphones, spotlights, and car headlights, to name a few. Parabolic reflectors are also used in alternative energy devices, such as solar cookers and water heaters, because they are inexpensive to manufacture and need little maintenance. In this section we will explore the parabola and its uses, including low-cost, energy-efficient solar designs.

Graphing Parabolas with Vertices at the Origin

In The Ellipse, we saw that an ellipse is formed when a plane cuts through a right circular cone. If the plane is parallel to the edge of the cone, an unbounded curve is formed. This curve is a parabola . See Figure 2.

Like the ellipse and hyperbola , the parabola can also be defined by a set of points in the coordinate plane. A parabola is the set of all points ( x , y ) ( x , y ) in a plane that are the same distance from a fixed line, called the directrix , and a fixed point (the focus ) not on the directrix.

In Quadratic Functions, we learned about a parabola’s vertex and axis of symmetry. Now we extend the discussion to include other key features of the parabola. See Figure 3. Notice that the axis of symmetry passes through the focus and vertex and is perpendicular to the directrix. The vertex is the midpoint between the directrix and the focus.

The line segment that passes through the focus and is parallel to the directrix is called the latus rectum . The endpoints of the latus rectum lie on the curve. By definition, the distance d d from the focus to any point P P on the parabola is equal to the distance from P P to the directrix.

To work with parabolas in the coordinate plane , we consider two cases: those with a vertex at the origin and those with a vertex at a point other than the origin. We begin with the former.

We then square both sides of the equation, expand the squared terms, and simplify by combining like terms.

Standard Forms of Parabolas with Vertex (0, 0)

Table 1 and Figure 5 summarize the standard features of parabolas with a vertex at the origin.

Axis of Symmetry Equation Focus Directrix Endpoints of Latus Rectum
x-axis y 2 = 4 p x y 2 = 4 p x ( p , 0 ) ( p , 0 ) x = − p x = − p ( p , ± 2 p ) ( p , ± 2 p )
y-axis x 2 = 4 p y x 2 = 4 p y ( 0 , p ) ( 0 , p ) y = − p y = − p ( ± 2 p , p ) ( ± 2 p , p )

The key features of a parabola are its vertex, axis of symmetry, focus, directrix, and latus rectum. See Figure 5. When given a standard equation for a parabola centered at the origin, we can easily identify the key features to graph the parabola.

A line is said to be tangent to a curve if it intersects the curve at exactly one point. If we sketch lines tangent to the parabola at the endpoints of the latus rectum, these lines intersect on the axis of symmetry, as shown in Figure 6.

Hogyan kell

Given a standard form equation for a parabola centered at (0, 0), sketch the graph.


Nézd meg a videót: परवलय (December 2021).