Cikkek

2.4: Mechanikai rezgések - matematika


Vizsgáljuk meg a lineáris másodrendű állandó együttható egyenletek néhány alkalmazását.

2.4.1 Néhány példa

Első példánk egy misét egy rugón. Tegyük fel, hogy van egy tömegünk (m> 0 ) (kilogrammban), amelyet (k> 0 ) rugóállandójú rugó (m / newtonban) egy rögzített falhoz köt. Valami külső erő (F (t) ) (newtonokban) hat a tömegre. Végül van némi súrlódás, amelyet (c geq 0 ) mért (newton-másodperc / méter), amint a tömeg a padlón csúszik (vagy esetleg csappantyú van csatlakoztatva).

Legyen (x ) a tömeg elmozdulása ( (x = 0 ) a nyugalmi helyzet), a (x ) pedig jobbra (a faltól távolabb) növekszik. A rugó által kifejtett erő arányos a rugó Hooke-törvény szerinti összenyomásával. Ezért (kx ) a negatív irányba mutat. Hasonlóképpen a súrlódás által kifejtett erő mértéke arányos a tömeg sebességével. Newton második törvénye alapján tudjuk, hogy az erő megegyezik a tömeg és a gyorsulás szorzatával, és ezért (mx '' = F (t) - cx '- kx ) vagy

[mx '' + cx '+ kx = F (t) ]

Ez egy lineáris másodrendű állandó együttható ODE. Felállítottunk néhány terminológiát erről az egyenletről. Azt mondjuk, hogy a mozgás az

  1. kényszerítve, ha (F not equiv 0 ) (ha (F ) nem azonos nulla),
  2. kényszerítve vagy szabadon, ha (F equiv 0 ) (ha (F ) azonos nulla),
  3. csillapított, ha (c> 0 ), és
  4. csillapítatlan, ha (c = 0 ).

2.1. Ábra: ( Sin theta ) és ( theta ) grafikonjai (radiánban).

Ezért, ha a kilengések kicsiek, a ( theta ) mindig kicsi, és a viselkedést egyszerűbb lineáris egyenlettel modellezhetjük

[{ theta} '' + dfrac {g} {L} theta = 0 ]

Ne feledje, hogy a közelítésből származó hibák felhalmozódnak. Tehát nagyon hosszú idő elteltével a valós rendszer viselkedése lényegesen eltérhet a megoldásunktól. Azt is látni fogjuk, hogy egy tömeg-rugós rendszerben az amplitúdó független a periódustól. Ez egy ingára ​​nem igaz. Ennek ellenére ésszerűen rövid időtartamok és kis hinták esetén (például ha az inga nagyon hosszú) a közelítés ésszerűen jó.

A valós világ problémáiban nagyon gyakran szükséges ilyen típusú egyszerűsítéseket végrehajtani. Ezért jó megérteni mind a matematikát, mind a helyzet fizikáját, hogy lássuk, érvényes-e az egyszerűsítés azokra a kérdésekre vonatkozóan, amelyekre válaszolni próbálunk.

2.4.2 Szabad, csillapíthatatlan mozgás

Ebben a szakaszban csak a szabad vagy a nem kényszerített mozgást vesszük figyelembe, mivel még nem tudjuk megoldani a nem homogén egyenleteket. Kezdjük csillapítatlan mozgással, ahol (c = 0 ). Megvan az egyenlet

[mx '' + kx = 0 ]

Ha osztjuk (m ) -vel és hagyjuk (w_0 = sqrt { dfrac {k} {m}} ), akkor az egyenletet felírhatjuk

[x '' + w ^ 2_0 x = 0 ]

Ennek az egyenletnek az általános megoldása az

[x (t) = A cos (w_0t) + B sin (w_0t) ]

Trigonometrikus azonosság alapján megadhatjuk, hogy két különböző konstansra (C ) és ( gamma )

[A cos (w_0t) + B sin (w_0t) = C cos (w_0t - gamma) ]

Nem nehéz kiszámolni, hogy (C = sqrt {A ^ 2 + B ^ 2} ) és ( tan gamma = dfrac {B} {A} ). Ezért hagyjuk, hogy (C ) és ( gamma ) legyenek tetszőleges állandóink, és (x (t) = C cos (w_0t - gamma) ) értékeket írunk.

( PageIndex {1} ) gyakorlat:

Indokolja a fenti azonosságot, és ellenőrizze a (C ) és ( gamma ) egyenleteket. Tipp: Kezdje a következővel: ( cos ( alfa - béta) = cos ( alfa) cos ( béta) + sin ( alfa) sin ( béta) ), és szorozza meg (C ). Ezután gondolja át, mi legyen a ( alfa ) és a ( beta ).

Míg az első űrlapot általában könnyebb használni a (A ) és (B ) billentyűkkel a kezdeti feltételek megoldására, a második forma sokkal természetesebb. A (C ) és ( gamma ) állandók nagyon szépen értelmezhetők. Megnézzük a megoldás formáját

[x (t) = C cos (w_0t - gamma) ]

Láthatjuk, hogy az amplitúdó (C ), (w_0 ) a (szög) frekvencia, és ( gamma ) az úgynevezett fáziseltolás. A fáziseltolás csak a grafikont tolja balra vagy jobbra. (W_0 ) a természetes (szög) frekvenciát hívjuk. Ezt az egész beállítást általában egyszerű harmonikus mozgásnak nevezik.

Szüneteltessük a szögletes szó magyarázatát a gyakoriság előtt. A (z) (w_0 ) egységek egységnyi idő radiánok, nem pedig ciklusok időegységenként, mint a frekvencia szokásos mértéke. Mivel tudjuk, hogy az egyik ciklus (2 pi ) radián, a szokásos frekvenciát ( dfrac {w_0} {2 pi} ) adja meg. Egyszerűen arról van szó, hogy hova tesszük az állandó értéket (2 pi ), és ez ízlés kérdése.

A mozgás időtartama egy a frekvencián (ciklusonként egységnyi idő alatt) és ennélfogva ( dfrac {2 pi} {w_0} ). Ennyi időbe telik egy teljes rezgés teljesítése.

Példa ( PageIndex {1} ):

Tegyük fel, hogy (m = 2kg ) és (k = 8 dfrac {N} {m} ). A teljes tömeg és a tavaszi beállítás egy teherautón ül, amely a (z) (1 dfrac {m} {s} ) pontnál haladt. A teherautó lezuhan és így megáll. A misét a nyugalmi helyzetből 0,5 méterre előre tartották. A baleset során a tömeg elszabadul. Vagyis a tömeg most halad előre (1 dfrac {m} {s} ), miközben a tavasz másik végét a helyén tartják. A tömeg ezért oszcillálni kezd. Mekkora a kapott rezgés frekvenciája és mekkora az amplitúdója. Az egységek az mks egységek (méter-kilogramm-másodperc).

A beállítás azt jelenti, hogy a tömeg a becsapódás során fél méteren volt pozitív irányban, és ahhoz a falhoz képest, amelyhez a rugó van felszerelve, a tömeg előre haladt (pozitív irányban) (1 dfrac {m} { s} ). Ez megadja nekünk a kezdeti feltételeket.

Tehát az egyenlet a kezdeti feltételekkel az

[2x "+ 8x = 0, x (0) = 0,5, x '(0) = 1 ]

Közvetlenül kiszámíthatjuk (w_0 = sqrt { dfrac {k} {m}} = sqrt {4} = 2 ). Ezért a szögfrekvencia 2. A szokásos frekvencia Hertz-ben (ciklus / másodperc) ( dfrac {2} {2 pi} = dfrac {1} { pi} kb. 0,318 ).

Az általános megoldás az

[x (t) = A cos (2t) + B sin (2t) ]

Az (x (0) = 0,5 ) megengedése (A = 0,5 ). Ekkor (x '(t) = -2 (0,5) sin (2t) + 2B cos (2t) ). Ha (x '(0) = 1 ) adunk (B = 0,5 ). Ezért az amplitúdó (C = sqrt {A ^ 2 + B ^ 2} = sqrt {0,25 + 0,25} = sqrt {0,5} kb 0,707 ). A megoldás az

[x (t) = 0,5 cos (2t) + 0,5 sin (2t) ]

(X (t) ) diagramját a 2.2. Ábra mutatja.

2.2. Ábra: Egyszerű csillapítás nélküli rezgés.

Általában a szabad, csillapíthatatlan mozgáshoz a forma megoldása

[x (t) = A cos (w_0t) + B sin (w_0t) ]

megfelel a kezdeti feltételeknek (x (0) = A ) és (x '(0) = w_0B ). Ezért könnyű kitalálni a kezdeti feltételekből (A ) és (B ). Ezután az amplitúdó és a fáziseltolás kiszámítható (A ) és (B ) alapján. A példában már megtaláltuk a (C ) amplitúdót. Számítsuk ki a fáziseltolódást. Tudjuk, hogy ( tan gamma = dfrac {B} {A} = 1 ). Az 1 arctangensét vesszük, és hozzávetőlegesen 0,785-et kapunk. Továbbra is ellenőriznünk kell, hogy ez a ( gamma ) a megfelelő kvadránsban van-e (és hozzá kell adnunk a ( pi ) szót a ( gamma ) -hoz, ha nem). Mivel (A ) és (B ) egyaránt pozitívak, akkor a ( gamma ) az első kvadránsban kell lennie, és az 0,785 radián valóban az első kvadránsban van.

Megjegyzés: Számos számológép és számítógépes szoftver nem csak az arctangens atan funkcióját látja el, hanem azt is, amit néha atan2-nek hívnak. Ennek a függvénynek két argumentuma van: (B ) és (A ), és egy ( gamma ) értéket ad vissza az Ön számára megfelelő kvadrátba.

2.4.3 Szabad csillapított mozgás

Most koncentráljunk a csillapított mozgásra. Írjuk át az egyenletet

[mx '' + cx '+ kx = 0 ]

mint

[x '' + 2px '+ w ^ 2_0x = 0 ]

hol

[w_0 = sqrt { dfrac {k} {m}}, p = dfrac {c} {2m} ]

A jellemző egyenlet az

[r ^ 2 + 2pr + w ^ 2_0 = 0 ]

A másodfokú képletet használva megkapjuk, hogy a gyökerek vannak

[r = -p pm sqrt {p ^ 2 - w ^ 2_0} ]

A megoldás formája attól függ, hogy komplex vagy valós gyökereket kapunk-e. Akkor és csak akkor kapunk valódi gyökereket, ha a következő szám nem negatív:

[p ^ 2 - w ^ 2_0 = {( dfrac {c} {2m})} ^ 2 - dfrac {k} {m} = dfrac {c ^ 2 -4km} {4m ^ 2} ]

A (p ^ 2 - w ^ 2_0 ) jele megegyezik a (c ^ 2 - 4km ) előjellel. Így akkor és akkor kapunk valódi gyökereket, ha (c ^ 2 - 4km ) nem negatív, vagy más szóval, ha (c ^ 2 ge 4km ).

Túlcsillapítás

Ha (c ^ 2 - 4km> 0 ), akkor azt mondjuk, hogy a rendszer túlcsordult. Ebben az esetben két különálló valós gyök van (r_1 ) és (r_2 ). Figyeljük meg, hogy mindkét gyök negatív. Mivel ( sqrt {p ^ 2 - w ^ 2_0} ) mindig kisebb, mint (P ), akkor (-P pm sqrt {P ^ 2 - w ^ 2_0} ) negatív.

A megoldás [x (t) = C_1e ^ {r_1t} + C_2e ^ {r_2t} ]

Mivel (r_1, r_2 ) negatív, (x (t) rightarrow 0 ) mint (t rightarrow infty ). Így a tömeg a nyugalmi helyzet felé hajlik, ahogy az idő a végtelenségig halad. Néhány mintaterületen különböző kezdeti feltételekhez (2.3. Ábra).

2.3. Ábra Túlcsillapított mozgás több különböző kezdeti feltétel esetén.

Ne feledje, hogy nem történik rezgés. Valójában a grafikon legfeljebb egyszer keresztezi az (x ) tengelyt. Hogy miért, megpróbáljuk megoldani (0 = C_1e ^ {r_1t} + C_2e ^ {r_2t} ). Ezért (C_1e ^ {r_1t} = -C_2e ^ {r_2t} ) és az exponens törvényeinek felhasználásával megkapjuk

[ dfrac {-C_1} {C_2} = e ^ {{(r_2 - r_1)} t} ]

Ennek az egyenletnek legfeljebb egy megoldása van (t ge 0 ). Bizonyos kezdeti feltételek esetén a gráf soha nem fogja keresztezni az (x ) tengelyt, amint az a mintadiagramokból kitűnik.

Példa ( PageIndex {2} ):

Tegyük fel, hogy a tömeg felszabadul a pihenésből. Ez (x (0) = x_0 ) és (x '(0) = 0 ). Azután

[x (t) = dfrac {x_0} {r_1 - r_2} (r_1e ^ {r_2t} - r_2e ^ {r_1t}) ]

Nem nehéz belátni, hogy ez kielégíti a kezdeti feltételeket.

Kritikus csillapítás

Ha (c ^ 2 - 4km = 0 ), akkor azt mondjuk, hogy a rendszer kritikusan csillapított. Ebben az esetben a 2 multiplicitásnak van egy gyöke, és ez a gyökér (-P ). Ezért a mi megoldásunk az

[x (t) = C_1e ^ {- pt} + C_2te ^ {- pt} ]

A kritikusan csillapított rendszer viselkedése nagyon hasonlít a túlcsillapított rendszerhez. Végül is egy kritikusan csillapított rendszer bizonyos értelemben a túlcsökkent rendszerek határa. Mivel ezek az egyenletek valójában csak közelítései a való világnak, a valóságban soha nem vagyunk kritikusan csillapítva, ez az a hely, amelyet csak elméletben érhetünk el. Mindig vagyunk egy kicsit alul- vagy kissé túlfeszítettek. Jobb, ha nem foglalkozunk a kritikus csillapítással.

Csillapítás

2.4. Ábra: Csillapított mozgás a bemutatott borítékgörbékkel.

Ha (c ^ 2 - 4km <0 ), akkor azt mondjuk, hogy a rendszer alul van csillapítva. Ebben az esetben a gyökerek összetettek.

[r = -p pm sqrt {p ^ 2 - w ^ 2_0} ]

[= -p pm sqrt {-1} sqrt {w ^ 2_0 - p ^ 2} ]

[= -p pm iw_1 ]

ahol (w_1 = sqrt {w ^ 2_0 - p ^ 2} ). Megoldásunk az

[x (t) = e ^ {- pt} (A cos (w_1t) + B sin (w_1t) ]

vagy

[x (t) = Ce ^ {- pt} cos (w_1t - gamma) ]

A 2.4 ábrán egy példakép látható. Vegye figyelembe, hogy még mindig megvan az (x (t) rightarrow 0 ) mint (t rightarrow infty ).

Az ábrán a (Ce ^ {- pt} ) és a (- Ce ^ {pt} ) borítékgörbéket is megmutatjuk. A megoldás a két burokgörbe közötti oszcilláló vonal. A burokgörbék megadják az oszcilláció maximális amplitúdóját az adott időpontban. Például, ha bungee jumping, akkor valóban érdekli a borítékgörbe kiszámítása, hogy ne ütje meg a betont a fejével.

A fáziseltolás ( gamma ) csak a grafikont tolja balra vagy jobbra, de a borítékgörbéken belül (a burokgörbék nem változnak, ha ( gamma ) változnak).

Végül vegye figyelembe, hogy a szögletes frekvencia (nem hívjuk frekvenciának, mivel a megoldás valójában nem periodikus függvény) (w_1 ) kisebb lesz, amikor a csillapítás (c ) (és ennélfogva (P )) nagyobbá válik. Ennek van értelme. Ha csak egy kicsit változtatjuk a csillapítást, akkor nem számítunk arra, hogy a megoldás viselkedése drámai módon megváltozik. Ha folyamatosan növeljük a (c ) értéket, akkor egy bizonyos ponton a megoldásnak el kell kezdenie a kritikus csillapítás vagy a túlcsillapítás megoldását, ahol oszcilláció nem történik. Tehát ha (c ^ 2 ) megközelíti a (4km ) értéket, akkor azt szeretnénk, ha a (w_1 ) megközelítené a 0 értéket.

Másrészt, ha a (c ) kisebb lesz, a (w_1 ) megközelíti a (w_0 ) ( (w_1 ) mindig kisebb, mint a (w_0 )), és a megoldás egyre inkább hasonlít a a csillapítatlan eset folyamatos periodikus mozgása. A burokgörbék laposabbak és laposabbak lesznek, mivel (c ) (és ennélfogva (P )) 0-ra megy.


A fúrórudak vibrációjának numerikus szimulációja és elemzése a tetőcsavar furatok fúrásakor a földalatti aknákban

A föld alatti bányában a tető szerkezeti romlása könnyen tetőleesést okozhat, és a romlást nehéz észlelni. A tetőcsavarok furatainak fúrásakor kapcsolat van a fúrórúd rezgése és a fúrandó kőzet tulajdonságai között. Ez a cikk a fúrórúd keresztirányú, hosszanti és torziós rezgéseit elemzi rezgéselmélet segítségével. Meghatározzák a háromféle rezgés jellegzetes indexeit. Az ABAQUS végeselemző szoftver segítségével elkészítették a tetőcsavarfuratok fúrása során a fúrórudak rezgésének modelljét az észak-kínai Guyuan szénbánya geológiai és bányászati ​​viszonyai alapján. A modell eredményei meghatározták, hogy a keresztirányú és a hosszanti rezgés csökken, ahogy a kőzetkeménység csökken. Csökkenő sorrendben a homokkő, a homokos sárkő, a sárkő és a gyenge közbetétek fúrásakor fokozatosan kevesebb rezgést okoznak. A csökkenő torziós rezgést okozó rétegek rangsora kissé eltér, csökkenő sorrendben sárkő, homokkő, homokos sárkő és gyenge közbetétek. Ezek az eredmények elméleti alapot nyújtanak a veszélyes tetőviszonyok és a gyenge közbensők jelenlétének előrejelzéséhez, hogy lehetővé tegyék a csavartartó rendszerek beállítását.


Áttekintés

Leírás

Ez a cím a Pearson Modern Classics sorozat része. A Pearson Modern Classics elismert címek értékáron. Kérlek látogasd www.pearsonhighered.com/math-classics-series a címek teljes listájához.

Az elemi differenciálegyenletek rövidebb hagyományos tanfolyamaihoz, amelyeket a természettudományi, mérnöki és matematikai hallgatók követnek a következő számításból.

Ennek a széles körben elfogadott könyvnek a hatodik kiadása ugyanaz a klasszikus differenciálegyenlet szöveg marad, mint mindig, de csiszolták és élesítették, hogy még hatékonyabban szolgálják az oktatókat és a hallgatókat. Edwards és Penney arra tanítják a hallgatókat, hogy először oldják meg azokat a differenciálegyenleteket, amelyek a leggyakoribb és legérdekesebb alkalmazások. Az alapvető létezés és az egyediség tételének pontos és egyértelmű kijelentései lehetővé teszik e témában betöltött szerepük megértését. Az erős numerikus megközelítés hangsúlyozza, hogy a numerikus módszerek hatékony és megbízható használata gyakran előzetes elemzést igényel standard elemi technikák alkalmazásával.


MEMS and Microsystems: Design, Manufacture and Nanoscale Engineering, 2. kiadás

A mikroelektromechanikus rendszerek, a MEMS és a Microsystems mérnöki tervezési megközelítése továbbra is az egyetlen rendelkezésre álló szöveg, amely a technológia elektromos és mechanikai vonatkozásait egyaránt lefedi. Az első kiadás megjelenése óta eltelt öt évben jelentős változások történtek a miniatürizálás tudományában és technológiájában, ideértve a mikrorendszer-technológiát és a nanotechnológiát is. Válaszul a mérnökök növekvő igényeire az alapismeretek és tapasztalatok megszerzésére ezeken a területeken, ezt a népszerű szöveget gondosan frissítették, beleértve egy teljesen új részt a nanoméretű mérnöki tervezés bevezetéséről.

A nanotechnológia történetének és evolúciójának rövid bemutatása után a szerző kitér a nanostruktúrák mérnöki tervezésének alapjaira, ideértve a nanotermékek gyártásának gyártási technikáit, a molekuláris dinamikában alkalmazott mérnöki tervezés alapelveit, valamint a folyadékáramlást és a hőátadást nanosúlyú anyagokban.

A második kiadás további kiemelt elemei:
*

A mikrofeldolgozás kiterjedtebb lefedettsége, valamint az összeszerelési és csomagolási technológiák
*

Mikrogroszkópok, miniatűr mikrofonok és hőcsövek bevezetése
*

Tervezési módszertanok hőkezelt többrétegű eszközelemekhez
*

Népszerű SU-8 polimer anyag használata

Számos példa, esettanulmány és a megértés és a valós alkalmazás megkönnyítése érdekében alkalmazott problémák támasztják alá, a második kiadás jelentős értéket képvisel mind a szakemberek, mind az idősebb gépész- vagy villamosmérnök hallgatók számára.


Differenciálegyenletek - matematika 3113004 és 007 szakasz

A végső betű osztályzata egy görbe alapján lesz (meghatározandó).

Számológép-házirend

Vizsga dátumai

1. vizsga: szeptember 30., péntek
2. vizsga: november 11., péntek
Záróvizsga:
004. szekció december 13., kedd, 4: 30-6: 30
007. szekció december 12., hétfő, 1: 30-3: 30

Elmaradt munkarend

Akadémiai kötelességszegési nyilatkozat

Az akadémiai kötelességszegés gyanújának minden esetét az Egyetem akadémiai kötelességszegési kódexe alapján a Művészeti és Tudományos Főiskola dékánja elé állítják. A büntetések meglehetősen szigorúak lehetnek. Ne csináld! Az egyetem szabálytalanságokkal kapcsolatos politikájáról további részletek a http://www.ou.edu/integrity/ oldalon találhatók.

A hallgatókat az OU hallgatói kódexének rendelkezései is kötik, amelyek a http://judicial.ou.edu/ oldalon találhatók.

Fogyatékossággal élő diákok

A siker kulcsa a matematika órákon

Webmunka

Számítógépes feladatok

# Határidő Feladat Megoldások
1 Szeptember 9 Számítógépes projekt 1 slopefield.m, graphslopefield.m, slopefield.pdf
2 Október 3 2. számítógépes projekt
9/21 Javítás: Az 1. és 3. feladat hurokjának utolsó sora x = xvals (i + 1) értékre változott
megoldások
3 November 4 Számítógépes projekt 3 megoldások
3 December 7 4. számítógépes projekt megoldások (először olvassa el az Instructions.txt fájlt)

Napi tanterv

08/22: 1.1. Szakasz: Differenciálegyenletek, általános megoldások, kezdeti értékproblémák, ellenőrző megoldások
08/24: Az 1.1 szakasz folytatódik
08/26: 1.2. Szakasz: Megoldások az y '= f (x) alakú egyenletekre

08/29: 1.3. Szakasz: meredekségmezők, megoldások grafikus elemzése, időfüggetlen egyenletek dx / dt = f (x), egyensúlyi megoldások
08/31: folytatódott az 1.3. Szakasz: a megoldások egyedisége és létezése, 1.4. Szakasz: elválasztható egyenletek, y '= f (x) g (y), Az 1. webmunka 22 órakor esedékes
09/02: Newton hűtési és fűtési törvénye, egyszerű légellenállási modell, Kvíz 1, megoldások

09/05: Nincs osztály
09/07: 1.5. Szakasz: Első rendű lineáris egyenletek, faktor-technika integrálása
09/09: Az 1.5. Szakasz folytatódik: keverékproblémák, 1.6. Szakasz: pontos ODE-k A 2-es webmunka 22 órakor esedékes, Az 1. számítógépes projekt az osztályban esedékes, Kvíz 2, megoldások

09/12: 1.6. Szakasz: pontos differenciálegyenletek
09/14: 1.6. Szakasz: helyettesítési módszerek, A 3-as webmunka 22 órakor esedékes
09/16: 2.4. Szakasz: Euler-módszer, Kvíz 3, megoldások

09/19: 2.5. Szakasz: Továbbfejlesztett Euler-módszer
09/21: 2.1. Szakasz: Logisztikai egyenlet, A 4-es webmunka 22 órakor esedékes
09/23: 2.2. Szakasz: Fázisdiagramok, stabilitás, bifurkáció, Kvíz 4, 007 megoldások, 004 megoldások

09/26: Az 1.6 és 2.3 szakasz részei: Univerzális gravitáció, potenciális energia
09/28: Felülvizsgálat, Az 5-ös webmunka 22 órakor esedékes
09/30: 1. félidős - az 1. és 2. fejezetet fedi le, a 004-es és a 007-es megoldásokat

10/03: 3.1. Szakasz: Bevezetés a másodrendű lineáris egyenletekbe
10/05: 3.1-3.3. Szakasz: Homogén másodrendű lineáris egyenletek állandó együtthatókkal Osztályban esedékes írásbeli házi feladat: 2.2: 21, 23, 24 szakasz, 2.3: 27 szakasz, nincs webmunka, házi megoldások
10/07: Nincs osztály

10/10: Magasabb rendű egyenletek állandó együtthatókkal
10/12: Wronskians, lineáris függetlenség, létezés egyedisége A 7-es webmunka 22 órakor esedékes
10/14: 3.4. Szakasz: Mechanikus rezgések Kvíz 5 (7-es webmunkát tartalmaz), 004 megoldások, 007 megoldások

10/17: A mechanikus rezgések folytatódtak
10/19: A mechanikus rezgések folytatódtak, a korrekció a fontokat tartalmazó egységeken
10/21: 2.6. Szakasz: Runge-Kutta módszer, A 8-as webmunka 22 órakor esedékes, kvíz 6 megoldások

10/24: Runge-Kutta módszer folytatása, osztálybemutató, 6. vetélkedő az osztályban esedékes, megoldások
10/26: 3.5. Szakasz: Nem homogén egyenletek A 9-es webmunka 22 órakor esedékes
10/28: A nem homogén egyenletek folytatódtak, Kvíz 7, megoldások

10/31: A nem homogén egyenletek folytatódtak
11/02: 4.1. Szakasz: Első rendelési rendszerek, a webmunkát péntekre halasztják
11/04: A rendszerek folytatódtakKvíz 8, 007 megoldások, 004 megoldások, A 10-es webmunka este 10-kor esedékes

11/07: 4.2. Szakasz: Az elimináció módszere
09.11 .: Az elimináció folytatódott, nincs weblap
11/11: 2. félidõ - a 3.1-3.5. Szakaszt fedi le, 004 megoldások, 007 megoldások

11/14: 4.3. Szakasz: Numerikus módszerek, néhány példakód, néhány egyszerű vektorparancs
11/16: A numerikus módszerek folytatódtak A 11-es webmunka 22 órakor esedékes
11/18: Univerzális gravitáció 9. kvíz, megoldás

11/21: 5.1. Szakasz: Bevezetés a lineáris rendszerekbe

11/28: 5.2. Szakasz: Sajátérték-módszer a rendszerekhez
11/30: Az Eigenvalue módszer folytatódik, nincs webmunka
12/2: Az Eigenvalue módszer folytatódik, nincs kvíz

12/5: 7. fejezet: Laplace-transzformáció
12/7: Laplace transzformáció, A 4. számítógépes projekt az osztályban esedékes
12/9: Laplace-transzformáció, 10. kvíz, megoldás, A 12-es webmunka 22 órakor esedékes


Gépipari tárgyak listája

Az alábbiakban felsoroljuk a gépészeti tárgyakat -

1. Termodinamika

A termodinamika a hő, a munka és az energia kapcsolatával foglalkozik. A mérnökök termodinamikai törvényeket alkalmaznak egy mechanikus rendszer elkészítésekor. Ez a tárgy részletes információkat nyújt a termodinamika, a hő, a munka és az energia törvényeiről.

2. Anyagtudomány

Az anyagtudomány foglalkozik az anyag tulajdonságokkal és alkalmazásával a termék gyártása és gyártása során. Ez a téma az anyag mikroszkopikus szinten történő különböző struktúráiról szól. A hallgatók ebben a tárgyban megtanulják az atomszerkezetet, a kötést, a kristályográfiát, a nanostruktúrát, a mikrostruktúrát, a makrostruktúrát stb.

3. A gép kinematikája és dinamikája

A testek mozgásának tanulmányozásával foglalkozik az erőktől függetlenül.

4. Mechanikus rajz

Az MD egy műszaki rajz. Valamiféle vizuális nyelv segíti a mérnököket a termék megjelenítésében. Az MD mérnökök rajzolják a lap első és harmadik szögének vetületét a lapra. A mérnökök különféle szimbólumokat, egységeket és műszaki elveket alkalmaznak a termék megrajzolásához. A Mechanikus Rajzolásban a hallgatók megtanulják, használják és gyakorolják a rajz ezen technikáit.

5. Gyártási folyamat

Ebben a tárgyban a hallgatók különféle gyártási technikákat és folyamatokat tanulnak meg, amelyek szükségesek a termékek gyártásához.

6. Gép tervezés

A géptervezés új alkatrészek és a mechanikai rendszer felépítésével foglalkozik mérnöki technikák és elvek segítségével.

7. Folyékony mechanika

A folyadékszerelő a nyugalmi állapotban és mozgásban lévő folyadék tanulmányozásával foglalkozik.

8. Az anyag szilárdsága

Az anyag szilárdsága az anyag erőivel és deformációival foglalkozik. Részletes információt nyújt az anyag tulajdonságairól, például szilárdságról, plaszticitásról és rugalmasságról stb.

Gépészmérnöki tárgyak

2.4: Mechanikai rezgések - matematika

Sokk és rezgés kézikönyv
1768. oldal
Clarence W. De Silva
Főszerkesztő

Ebben a kézikönyvben ugyanolyan hangsúlyt kap az elmélet és a gyakorlati alkalmazás. A fejezetek alapvetésekre, alapelméletekre, fejlett elméletekre, analitikai technikákra, numerikus technikákra, kísérleti technikákra, tervezési módszertanra, gyakorlati problémákra és megoldásokra, alkalmazásokra, szabályozási szempontokra és hasznos adatokra vannak csoportosítva. Az analitikai készítményeket, a numerikus módszereket, a tervezési megközelítéseket, az irányítási technikákat és a kereskedelmi szoftver eszközöket mutatják be és szemléltetik. A kereskedelmi berendezéseket, a számítógépes hardvereket és a műszereket ismertetik, elemzik és bemutatják a terepi alkalmazás, a gyakorlati megvalósítás és a kísérletezés céljából. A kézikönyvben példák és esettanulmányok találhatók, amelyek szemléltetik a mellékelt információk felhasználását és alkalmazását. Az anyagot olyan formátumban mutatják be, amely kényelmes a könnyű hivatkozás és a visszaemlékezés érdekében.

A mechanikus rezgés a mechanikai rendszerek oszcillációs viselkedésének megnyilvánulása, vagy a kinetikus és potenciális energiák ismétlődő cseréje eredményeként a rendszer komponensei között, vagy kényszerítő gerjesztésként, amely oszcilláló. Az ilyen oszcillációs válaszok nem korlátozódnak pusztán mechanikus rendszerekre, és megtalálhatók az elektromos és a folyadék rendszerekben is. Tisztán termikus rendszerekben azonban a szabad természetes rezgések nem lehetségesek, és oszcillációs gerjesztésre van szükség a rezgő válasz eléréséhez. A sokk rövid, hirtelen és jellemzően nagy intenzitású gerjesztés által okozott rezgés. A hang, a zaj és az akusztika a nyomáshullámok megnyilvánulása, amelyek forrásai gyakran vibrációs dinamikus rendszerek.

Az alacsony rezgésszint csökkent zajszintet és jobb munkakörnyezetet jelent. A rezgés módosítása és vezérlése kulcsfontosságú lehet a nagy teljesítmény és a termelés hatékonyságának fenntartása, valamint az ipari gépek hasznos élettartamának meghosszabbítása szempontjából. Következésképpen napjainkban jelentős erőfeszítéseket fordítanak a gépek alkatrészei, szerszámgépei, tranzitjárművei, ütközési folyamatok, mélyépítési szerkezetek, folyadékáramlási rendszerek és repülőgépek által okozott rezgés és sokk tanulmányozására és szabályozására. A zaj és az akusztikai problémák nemkívánatos rezgésekből és folyadék- és anyagszerkezetek kölcsönhatásaiból fakadhatnak, amint az például az autómotorokban megtalálható. A motorzaj, a környezeti zaj, valamint a jármű nagy sebességű és magas hőmérsékletű kipufogógázai által okozott zaj nemcsak kényelmetlenséget és közönséges bosszúságot okoz, hanem káros hatásokat okoz maga a jármű is. A zajcsökkentő módszerek és eszközök, valamint a hangelnyelő anyagok és szerkezetek döntő fontosságúak ilyen helyzetekben. A jó vibrációs vagy akusztikus teljesítmény megtervezése vagy irányítása előtt fontos megérteni, elemezni és képviselni a rendszer dinamikai jellemzőit. Ez megvalósítható pusztán analitikai eszközökkel, analitikai modellek számítógépes elemzésével, a tesztadatok tesztelésével és elemzésével, vagy ezen megközelítések kombinációjával. Ebből következik, hogy a modellezés, az elemzés, a tesztelés és a tervezés mind a vibráció, az ütés és az akusztika szempontjából fontos szempont.

I. SZAKASZ Alapok és elemzés
1 Időtartomány-elemzés Clarence W. de Silva 1-1
1.1 Bevezetés. 1-1
1.2 Csillapítatlan oszcillátor .. 1-2
1.3 Nehéz rugók 1-12
1.4 Rezgések folyadékrendszerekben .. 1-14
1,5 csillapított egyszerű oszcillátor 1-16
1.6 Kényszerített válasz .. 1-27
2 Frekvencia-tartomány elemzés Clarence W. de Silva .. 2-1
2.1 Bevezetés. 2-1
2.2 Válasz a harmonikus gerjesztésekre. 2-2
2.3 Átalakítási technikák .. 2-14
2.4 Mechanikus impedancia megközelítés. 2-25
2.5 Átviteli funkciók. 2-31
2.6. Átvételi módszer 2-37
2A. Függelék Átalakítási technikák .. 2-40
3 Modális elemzés Clarence W. de Silva. 3-1
3.1 Bevezetés. 3-1
3.2 A szabadság fokai és a független koordináták 3-2
3.3 Rendszerábrázolás 3-4
3.4 Modális rezgések 3-10
3.5 A természetes módok ortogonalitása .. 3-14
3.6 Statikus és merev testű üzemmódok. 3-15
3.7 Egyéb modális készítmények .. 3-22
3.8 Kényszerített rezgés. 3-28
3.9 Csillapított rendszerek. 3-32
3.10 Állam-tér megközelítés .. 3-36
3A. Függelék: Lineáris algebra 3-41
4 Elosztott paraméterű rendszerek Clarence W. de Silva 4-1
4.1 Bevezetés. 4-1
4.2 A kábelek keresztirányú rezgése. 4-2
4.3 A rudak hosszanti rezgései .. 4-13
4.4 A tengelyek torziós rezgése .. 4-19
4.5 A gerendák hajlító rezgése. 4-26
4.6 Csillapított folyamatos rendszerek. 4-50
4.7 Membránok és lemezek rezgése 4-52
5 Véletlenszerű rezgés Haym Benaroya. 5-1
5.1 Véletlenszerű rezgés 5-1
5.2 A szabadság egyetlen foka: Véletlen terhelésekre adott válasz 5-2
5.3 Válasz két véletlenszerű terhelésre. 5-7
5.4 Többfokú szabadság-rezgés .. 5-12
5.5 Szabadság több fokozata: Véletlen terhelésekre adott válasz. 5-17
5.6 A rendszer folyamatos véletlenszerű rezgése 5-29

II. SZAKASZ Számítógépes technikák
6 Numerikus technikák Marie D. Dahleh .. 6-1
6.1 Bevezetés. 6-1
6.2 Egyfokú szabadság-fokozatú rendszer .. 6-2
6.3 Két vagy több szabadságfokú rendszerek 6-8
6.4 Véges különbség módszer folyamatos rendszer esetén. 6-11
6.5 Mátrix módszerek 6-14
6.6. Az alapfrekvencia közelítési módszerei 6-18
6.7 Végeselemes módszer 6-20
7 Rezgésmodellezés és szoftvereszközök Datong Song, Cheng Huang és Zhong-Sheng Liu .. 7-1
7.1 Bevezetés. 7-1
7.2 Megfogalmazás. 7-2
7.3 Rezgéselemzés. 7–9
7.4 Kereskedelmi szoftvercsomagok .. 7-13
7.5 A rezgéselemzés alapvető eljárása. 7-16
7.6 Mérnöki esettanulmány .. 7-19
7.7 Megjegyzések .. 7–21
8 Rugalmasan támogatott többtestes rendszerek számítógépes elemzése Ibrahim Esat és M. Dabestani 8-1
8.1 Bevezetés. 8-1
8.2 Elmélet. 8-2
8.3. Numerikus példa. 8-7
8.4 Ipari rezgéstervezési probléma. 8-11
8.5 Programozási szempontok. 8-16
8.6 VIBRATIO .. 8-17
8.7 Elemzés. 8–24
8.8 Megjegyzések .. 8-31
8A. Függelék VIBRATIO kimenet numerikus példához a 8.3 .. 8-32 szakaszban
9 Végeselemes alkalmazások a dinamikában Mohamed S. Gadala 9-1
9.1 Probléma és elemosztályozás .. 9-2
9.2 Az elemzés típusai. 9-20
9.3 A dinamikus elemzés szempontjainak modellezése. 9-23
9.4 A mozgásegyenletek és a megoldási módszerek. 9-27
9.5 Különböző dinamikus elemzések 9-33
9.6 Ellenőrzőlista a dinamikus FE elemzéshez. 9-41
10 Rezgésjel elemzés Clarence W. de Silva 10-1
10.1 Bevezetés 10-1
10.2 Frekvenciaspektrum .. 10-2
10.3 Jel típusok 10-7
10.4 Fourier-elemzés 10-7
10.5 Véletlenszerű jelek elemzése .. 10-18
10.6 A jelelemzés egyéb témái .. 10-26
10.7 Átfedéses feldolgozás .. 10-28
11 Wavelets & mdash fogalmak és alkalmazások Pol D. Spanos, Giuseppe Failla és Nikolaos P. Politis. 11-1
11.1 Bevezetés 11-1
11.2 Idő & ndash frekvencia elemzés. 11-2
11.3 A sztochasztikus folyamatok időfüggő spektrumbecslése .. 11-11
11.4 Véletlenszerű mező szimuláció .. 11-14
11.5 A rendszer azonosítása .. 11-15
11.6 Kárfelderítés 11-17
11.7 Anyagjellemzés 11-18
11.8 Záró megjegyzések .. 11-19

III. SZAKASZ Ütés és rezgés
12 Mechanikus sokk Christian Lalanne 12-1
12.1 Fogalommeghatározások. 12-2
12.2 Leírás az Időtartományban. 12-3
12.3 Sokkválasz-spektrum. 12-4
12.4 Pirosokk 12-17
12.5 A sokkra adott válaszspektrumok használata 12-18
12.6 Szabványok .. 12-24
12.7 Kárhatár-görbe 12-26
12.8 Sokkoló gépek. 12–28
12.9 Sokk generálása rázógépekkel. 12–44
12.10 Vezérlés sokkválasz-spektrummal 12-52
12.11 Pirotechnikai sokk szimuláció. 12-58
13 Az építőmérnöki szerkezetek rezgés- és sokkproblémái Priyan Mendis és Tuan Ngo .. 13-1
13.1 Bevezetés 13-2
13.2 Földrengés okozta szerkezetek rezgése 13-3
13.3 A szélterhelés dinamikus hatása a szerkezetekre. 13-22 13.4
A folyadék és a szerkezet szerkezeti kölcsönhatása miatt bekövetkező rezgések 13-33 13.5
Robbantási terhelés és robbantási hatások a szerkezetekre 13-34 13.6
Hatás betöltése. 13-47 13.7
Padló rezgése .. 13-51 14
Vasbeton szerkezetek Y.L. Mo 14-1 14.1
Bevezetés 14-1 14.2
Analitikai modellek 14-6 14.3
Gerendák a harmonikus gerjesztések alatt. 14-18 14.4
Tervezés robbanásokhoz / ütésekhez .. 14-21

IV. SZAKASZ Műszerezés és tesztelés
15 Rezgésmérő készülék Clarence W. de Silva 15-1
15.1 Bevezetés 15-1
15.2 Rezgésgerjesztők 15-3
15.3 Vezérlő rendszer .. 15-15
15.4 Teljesítmény specifikáció .. 15-21
15.5 Mozgásérzékelők és átalakítók 15-27
15.6 Nyomaték, erő és egyéb érzékelők. 15-50
15A. Függelék: Virtuális eszközök az adatgyűjtéshez, elemzéshez és bemutatáshoz 15-73
16 A jel kondicionálása és módosítása Clarence W. de Silva. 16-1
16.1 Bevezetés 16-2
16.2 Erősítők 16-2
16.3 Analóg szűrők .. 16-15
16.4 Modulátorok és demodulátorok 16-29
16.5 Analóg és ndash digitális konverzió 16-37
16.6 Hídáramkörök 16-43
16.7 Eszközök linearizálása. 16–49
16.8 Vegyes jelmódosító áramkör .. 16-56
16.9 Jelelemzők és kijelző eszközök. 16-62
17 Rezgésteszt Clarence W. de Silva. 17-1
17.1 Bevezetés 17-1
17.2 Rezgőkörnyezet ábrázolása .. 17-3
17.3 Előzetes eljárások 17-24
17.4 Vizsgálati eljárások 17-37
17.5 Néhány gyakorlati információ. 17-52
18 Kísérleti modellelemzés Clarence W. de Silva. 18-1
18.1 Bevezetés 18-1
18.2 Frekvencia-tartomány megfogalmazása .. 18-2
18.3 Kísérleti modell kidolgozása .. 18-8
18.4 Átviteli függvények görbeillesztése. 18-10
18.5 Laboratóriumi kísérletek .. 18-18
18.6 Kereskedelmi EMA rendszerek. 18–24

V. SZAKASZ Rezgéscsillapítás és vezérlés
19 Rezgéscsillapító Clarence W. de Silva .. 19-1
19.1 Bevezetés 19-1
19.2 A csillapítás típusai .. 19-2
19.3 A csillapítás ábrázolása a rezgéselemzésben 19-9
19.4 Csillapítás mérése .. 19-16
19.5 Interfész csillapítása 19-26
20 Csillapításelmélet Randall D. Peters 20-1
20.1 Előszó .. 20-2
20.2 Bevezetés 20-4
20.3 Háttér .. 20-12
20.4 Hiszterézis és mdash További részletek. 20–19
20.5 Csillapító modellek .. 20-20
20.6 Csillapítás mérései 20-23
20,7 Hisztérikus csillapítás 20-27
20.8 A közös elmélet kudarca .. 20-29
20.9 Levegőhatás 20-30
20.10 Zaj és csillapítás 20-31
20.11 Átalakítási módszerek. 20-34
20.12 Hisztérikus csillapítás 20-36
20.13 Belső súrlódás 20-41
20.14 Matematikai trükkök és mdash lineáris csillapító közelítések 20-43
20.15 Belső súrlódásfizika .. 20-44
20.16 Zener 20-45 modell
20.17 A csillapítás univerzális modellje felé. 20-48
20.18 Nemlinearitás. 20-58
20.19 Záró megjegyzés 20-65
21 kísérleti technika a csillapításban Randall D. Peters. 21-1
21.1 Elektronikus szempontok .. 21-2
21.2 Adatfeldolgozás 21-3
21.3 Szenzorválasztás .. 21-7
21.4 Csillapító példák 21-8
21.5 Vezetett oszcillátorok csillapítással .. 21-19
21.6 Oszcillátor több nemlinearitással. 21–21
21.7 Többféle rezgési mód 21-24
21.8 A belső súrlódás mint a mechanikai zaj forrása. 21-28
21.9 Viszkózus csillapítás és óvintézkedés. 21–29
21.10 Levegőhatás 21-31
22 Felépítés és felszerelés izolálása Y.B. Yang, L.Y. Lu és J. D. Yau. 22-1
22.1 Bevezetés 22-2
22.2 A bázisszigetelt rendszerek mechanizmusai 22-4
22.3 Szerkezeti és elosztó berendezés rendszerek elasztomer csapágyakkal .. 22-9
22.4 Csúszó szigetelő rendszerek. 22-17
22.5 Csúszószigetelő rendszerek rugalmas mechanizmussal. 22-36
22.6 A szeizmikus izoláció tervezésével kapcsolatos kérdések .. 22-50
23 Rezgésszabályozás Nader Jalili és Ebrahim Esmailzadeh 23-1
23.1 Bevezetés 23-1
23.2 Rezgésszabályozó rendszerek koncepciója 23-4
23.3 Rezgésszabályozó rendszerek tervezése és kivitelezése 23-12
23.4 Gyakorlati szempontok és kapcsolódó témák .. 23-38
24 Helikopter Rotor Tuning Kourosh Danai. 24-1
24.1 Bevezetés 24-1
24.2 Ideghálózat-alapú hangolás 24-4
24.3 Valószínűségen alapuló hangolás .. 24-5
24.4 Adaptív hangolás .. 24-8
24.5 Esettanulmány. 24-12
24.6 Következtetés 24–17

VI. SZAKASZ Monitoring és diagnózis
25 A gép állapotának figyelése és hibadiagnosztika Chris K. Mechefske .. 25-1
25.1 Bevezetés 25-2
25.2 Géphiba .. 25-2
25.3 Alapvető karbantartási stratégiák .. 25-4
25.4 A fenntartási stratégiát befolyásoló tényezők 25-7
25.5 A gép állapotának ellenőrzése 25-8
25.6 Az átalakító kiválasztása .. 25-10
25.7 Az átalakító helye 25-14
25.8 Felvételi és elemzési műszerek .. 25-14
25.9 Megjelenítési formátumok és elemző eszközök. 25-16
25.10 Hibaérzékelés .. 25-21
25.11 Hibadiagnosztika .. 25-25
26 Rezgésalapú szerszám állapotfigyelő rendszerek C. Scheffer és P.S. Heyns .. 26-1
26.1 Bevezetés 26-1
26.2 Esztergálás mechanikája .. 26-2
26.3 Rezgésjel felvétele .. 26-7
26.4 Jelfeldolgozás az érzékelőalapú szerszám állapotfigyeléshez .. 26-11
26.5 Kopásmodell / döntéshozatal a szenzor alapú szerszám állapotfigyeléshez. 26-15
26.6 Következtetés 26–20
27 A helikopteres sebességváltók hibadiagnosztikája Kourosh Danai 27-1
27.1 Bevezetés 27-1
27.2 Rendellenesség méretezés .. 27-5
27.3 A struktúra-alapú Connectionist hálózat 27-8
27.4 Az érzékelő helyének kiválasztása 27-11
27.5 Esettanulmány 27–14
27.6 Következtetés 27–23
28 Rezgéscsillapítás és monitorozás precíziós mozgásrendszerekben K.K. Tan, T.H. Lee, K.Z. Tang, S. Huang, S. Y. Lim, W. Lin és Y.P. Leow .. 28-1
28.1 Bevezetés 28-1
28.2 Mechanikai tervezés a vibráció minimalizálása érdekében. 28-2
28.3 Adaptív bevágási szűrő. 28-10
28.4 Valós idejű rezgéselemző .. 28-17
28.5 Gyakorlati ismeretek és esettanulmány .. 28-29
28.6 Következtetések .. 28-35

VII. SZAKASZ Szeizmikus rezgés
29 Szeizmikus bázis izoláció és rezgésszabályozás Hirokazu Iemura, Sarvesh Kumar Jain és Mulyo Harris Pradono .. 29-1
29.1 Bevezetés 29-1
29.2 Szeizmikus alap izolálása .. 29-4
29.3 Szeizmikus rezgésszabályozás .. 29-33
30 Jiahao Lin és Yahui Zhang hosszú fesztávolságú szerkezetek szeizmikus véletlenszerű rezgése 30-1
30.1 Bevezetés 30-2
30.2 Szeizmikus véletlenszerű gerjesztési mezők. 30–11
30.3 Pszeudoexcitációs módszer a szerkezeti véletlenszerű rezgéselemzéshez 30-16
30.4 Helyi, véletlenszerű földi gerjesztésnek kitett hosszú fesztávolságú szerkezetek 30-27
30.5 Nem stacionárius, véletlenszerű földi gerjesztésnek kitett hosszú hatótávolságú szerkezetek .. 30-34
30.6 Következtetések .. 30-39
31 Berendezések szeizmikus minősítése Clarence W. de Silva 31-1
31.1 Bevezetés 31-1
31.2 Forgalmazási minősítés. 31-1
31.3 Szeizmikus képesítés 31-6

VIII. SZAKASZ Tervezés és alkalmazások
32 Rezgés tervezés és vezérlés Clarence W. de Silva .. 32-1
32.1 Bevezetés 32-2
32.2 Rezgési határok meghatározása .. 32-3
32.3 Rezgésszigetelés. 32-5
32.4 Forgó gépek kiegyensúlyozása .. 32-15
32.5 Dugattyús gépek kiegyensúlyozása. 32-26
32.6 A tengelyek forgása 32-33
32.7 Tervezés modális teszteléssel. 32-39
32.8 Passzív rezgésszabályozás. 32-45
32.9 Aktív rezgésszabályozás .. 32-61
32.10 A sugár rezgéseinek vezérlése .. 32-67
32A. Függelék MATLAB Control Systems Toolbox .. 32-73
33 Strukturális dinamikai módosítás és érzékenységelemzés Su Huan Chen .. 33-1
33.1 Bevezetés 33-2
33.2 A végeselem modell strukturális dinamikus módosítása 33-2
33.3 A rezgési módok perturációs módszere .. 33-4
33.4 A szerkezeti rezgési módok tervezési érzékenységének elemzése. 33-8
33.5 Nagy pontosságú modális szuperpozíció a módok érzékenységének elemzéséhez .. 33-11
33.6 A sajátvektorok érzékenysége a szabad és ndash nélküli struktúrák esetében. 33-13
33.7 Matrix Perturbation Theory ismételt módokhoz
33.8 Matrix Perturbation módszer szorosan elhelyezett sajátértékekhez. 33-16
33.9 Mátrix perforáció elmélete komplex üzemmódokban .. 33-22
34 Rezgés forgó gépekben H. Sam Samarasekera 34-1
34.1 Bevezetés 34-1
34.2 Rezgés alapjai 34-6
34.3 Rotordinamikai elemzés. 34-18
34.4 Rezgésmérés és technikák .. 34-39
34.5 Rezgésszabályozás és diagnosztika .. 34-39
35 Regeneratív fecsegés a szerszámgépekben Robert G. Landers. 35-1
35.1 Bevezetés 35-1
35.2 Fecsegés esztergálási műveleteknél .. 35-3
35.3 Fecsegés az arcmarás műveleteiben. 35–9
35.4 Időtartomány-szimuláció .. 35-14
35.5 Fecsegés észlelése. 35-18
35.6 Fecsegés elnyomása 35-20
35.7 Esettanulmány. 35–24
36 Folyadék okozta rezgés Seon M. Han. 36-1
36.1 Az óceáni környezet leírása 36-1
36.2 Folyékony erők .. 36-16
36.3 Példák .. 36-23

IX. SZAKASZ Akusztika
37 Hangszintek és decibelek S. Akishita .. 37-1
37.1 Bevezetés 37-1
37.2 Hanghullám-jellemzők. 37-1
37.3 Szintek és decibelek 37-3
38 Hallás és pszichológiai hatások S. Akishita 38-1
38.1 Bevezetés 38-1
38.2 A fül felépítése és működése 38-1
38.3 Gyakorisági és hangos reakció. 38-2
38.4 Hallásvesztés .. 38-4
38.5 A zaj pszichológiai hatásai. 38-4
39 Zajellenőrzési kritériumok és előírások S. Akishita. 39-1
39.1 Bevezetés 39-1
39.2 A zajpolitika alapgondolatai. 39-1
39.3 Jogszabályok .. 39-2
39.4 rendelet .. 39-4
39.5 A zaj értékelésének intézkedései. 39-5
40 Kiyoshi Nagakura hangszerelés. 40-1
40.1 Hang intenzitás mérése 40-1
40.2 Tükör & ndash mikrofonrendszer 40-4
40.3 Mikrofon tömb .. 40-6
41 A zaj forrása S. Akishita .. 41-1
41.1 Bevezetés 41-1
41.2 Hangsugárzás 41-1
42 A felszívódás megtervezése Teruo Obata .. 42-1
42.1 Bevezetés 42-1
42.2 A hangelnyelés alapjai .. 42-2
42.3 Hangelnyelő anyagok .. 42-3
42.4 Az összetett fal akusztikai jellemzőinek kiszámítása .. 42-6
42.5 Bélelt csatornák csillapítása 42-10
42.6 Disszipatív hangtompítók csillapítása .. 42-12
42.7 Általános szempontok. 42-15
42.8 A disszipatív hangtompító gyakorlati példája .. 42-17
43 Reaktív hangtompítók tervezése Teruo Obata 43-1
43.1 Bevezetés 43-1
43.2 Alapegyenletek .. 43-2
43.3 A reaktív hangtompítók hatása 43-3
43.4 Számítási eljárás .. 43-5
43.5 A 43-6 modell alkalmazási tartománya
43.6 Gyakorlati példa. 43-13
44 Hangszigetelés kialakítása Kiyoshi Okura 44-1
44.1 A hangszigetelés elmélete. 44-1
44.2 A hangszigetelés alkalmazása 44-13
45 Statisztikai energiaanalízis Takayuki Koizumi 45-1
45.1 Bevezetés 45-1
45.2 Teljesítményáram-egyenletek. 45-2
45.3 A tengeri paraméterek becslése .. 45-4
45.4 Alkalmazás a 45-7. Szerkezetekben


5 MEGBESZÉLÉS

Jelen tanulmány a mechanikus rezgések DW-MR mérések jelére gyakorolt ​​hatását vizsgálja, egy magas bértékű DW MRS szekvencia és egy módszer javaslata a jelveszteség csökkentésére további gradiens alkalmazásával. A fő alapkoncepció nem szünteti meg a mechanikai rezgéseket, hanem arra törekszik, hogy a diffúziós gradiensek során hozzávetőlegesen illessze a rezgésállapotokat, hogy a teljes intravoxel dephézió kicsi legyen, és ne vezessen jelentős jelveszteséghez.

A rezgések szöveten belüli átvitelének szemléltetésére használt egyszerűsített mechanikai rendszer egyáltalán nem reprezentálja teljes mértékben a lágyrész viszkoelasztikus mechanikájának összetettségét. Az elfogadott egyszerűsítések és a mechanikai tulajdonságokra vonatkozó pontos értékek hiánya miatt nem végeztek kvantitatív elemzést, és csak kvalitatív eredményeket mutattak be. A modellből kiderül, hogy a VMG alkalmazása a tényleges diffúziós súlyozás előtt segít megközelítőleg egyeztetni az elmozdulási mintákat mindkét diffúziós gradiens időtartama alatt. Ez igaz a vizsgált első tömegre, amelyet közvetlenül gerjeszt az impulzus, és a második tömegre is, amely az első tömeghez kapcsolódik. A VMG alkalmazásakor mindkét tömeg nagyon hasonló elmozdulási mintázatot mutat a diffúziós kódoló gradiensek során, ami a diffúziós súlyozás során nagyon kicsi halmozott fázist eredményezne. Ha az elmozdulás mintázata eltér a 2 diffúziós gradiens során (mint a VMG nélküli szimulált esetben), akkor a fázis felhalmozódik. Amikor ez a felgyülemlett fázis a szövet különböző helyzeteinél is változik, a fázisdiszperzió jelveszteséget okozna egy voxelen belül. A 2. ábra egyértelműen mutatja az elmozdulás mintázatának ezt a variációját a 2 diffúziós gradiens időtartama alatt a 2 szimulált tömeg esetében, ha nem használunk VMG-t.

A 4A. Ábrán a mért elmozdulások VMG-vel és T-velVMG Valódi kísérleti körülmények között a diffúziós idő megegyezik. Az elmozdulás mintázata hasonló, de összetettebb, mint az egyszerűsített modellben látható (2A. Ábra). A 4B. Ábrán a 2 diffúziós gradiens alatti elmozdulásokat mutatjuk be. Az elmozdulások eltérnek, ha a fantomot a szkenneren mérik a VMG alkalmazása nélkül, és hasonlóbbá válnak, ha a VMG-t a DW előtt alkalmazzák. Ez a hatás különösen a y-irány (elülső-hátsó), míg a xúgy tűnik, hogy a kiegészítő gradiens alkalmazása kevésbé befolyásolja a (jobb-bal) irányt. Ban ben z-irány (láb-fej) a mért elmozdulások a többi irányhoz képest kicsik.

Az elmozdulások a diffúziós gradiens időtartama alatt is láthatók, amikor a tekercset a leválasztó asztalra helyezzük. Úgy tűnik azonban, hogy az elmozdulások, amikor a tekercset a leválasztó asztalra helyezik, nagyon hasonlóak a diffúziós gradiensek alatt, és sokkal alacsonyabb frekvenciákat képviselnek a rendszerben. A leválasztó asztalt fából készítették, ami a rendszer alacsony sajátfrekvenciáját eredményezheti. Ugyanakkor magas rezgési frekvenciájú komponensek is megfigyelhetők elülső-hátsó irányban. Ez potenciálisan a fa leválasztó asztal első természetes rezonanciáját tükrözheti, amely túlnyomórészt elülső-hátsó irányban van jelen. A természetes rezonancia rezgés gerjesztésére szolgáló energia a gradiens tekercsből hanghullámokon keresztül is átvihető a leválasztó asztalra.

Nemcsak a VMG alkalmazása fontos, hanem ennek a további gradiensnek az ütemezése is. Az 5. ábra azt mutatja, hogy az elmozdulási minták nagymértékben különböznek (még inkább a VMG hiányához képest), ha a VMG időzítése sokkal rövidebb vagy hosszabb, mint a diffúziós idő. Amikor a VMG megismétli a DW gradiensek alakját és szilárdságát, valamint a diffúziós preparálás időzítését, az elmozdulási görbék hasonlósága nagyon nagy.

A mért elmozdulások alapján a felhalmozódott fázis megbecsülhető, és összehasonlítható a DW MRS vizsgálat jel amplitúdójával. A 6. ábrán bemutatott eredmények 2 olyan kísérlet összeolvadását mutatják, amelyeket nem lehetett egyszerre végrehajtani. Ezért, bár a minimumok elhelyezkedése a felhalmozott fázisban és a maximumok a metiléncsúcs területén nem teljesen egyeznek, a 6. ábra 2 görbéjének mintázata hasonlónak tűnik. A 6. ábra azt mutatja, hogy a jel amplitúdójának maximuma akkor érhető el, amikor a VMG időzítése a DG-hez viszonyítva1 egyenlő a diffúziós idővel. Ez a magas jelérték megfelel a felhalmozott fázis minimumának. A fenti megállapítás egy újabb szemléltetése annak az elképzelésnek, hogy a DW MR kísérletben a vibrációs műtárgyak miatti jelveszteség csökkenthető, ha a 2 diffúziós gradiens során eltolódások hasonlóak, és végül a felhalmozódott fázis kicsi. A 6. ábra a felhalmozott fázisban több minimumot vagy a jelértékek maximumait mutatja. Ezen szélsőértékek előfordulása azonban nem könnyen kiszámítható a rendszer pontos mechanikai tulajdonságainak ismerete nélkül. Mindazonáltal az objektum tulajdonságainak ismerete nélkül feltételezhető, hogy a felhalmozott fázisban minimum akkor következik be, amikor a VMG időzítése az első diffúziós gradienshez képest megegyezik a diffúziós idővel.

A pusztán felhalmozott fázis nem elegendő a jelvesztés kiváltásához intravoxel dephasolással. Ehhez a 3D voxel fázisdiszperziójának jelen kell lennie. A fázis diszperziójának több mint 1 ponton történő számszerűsítéséhez a kumulált fázist egy 2D felületen számítottuk ki a fantom tetején. A 7. ábrán látható felületek az egyes pontokban felhalmozott fázist jelentik a különböző mérési forgatókönyvek esetében. A jelvesztés akkor következik be a DW MR kísérleteiben, amikor a fázis nagy térbeli változása van jelen 1 felvételi voxelben. A 2D felület fázisváltozása már utalást adhat a 3D térfogatban várható jelveszteségre. Amikor a fantom beolvasása a szkennerasztalon a javasolt séma nélkül történt, a 2D felületen már 5% -os jelvesztés volt megfigyelhető, míg a VMG alkalmazásakor ez csak 1% volt. Várható, hogy a szkennertábla 3D kötetében a jelveszteség nagyobb lesz a VMG nélkül, mint a VMG esetében.

A 2 mért WF fantom eredményeit külön kell megbeszélni: A 6000 fordulat / perc WF fantomban a lipid ADC értéket túlértékelik, ha a fantomot a szkennerasztalon a javasolt módszer nélkül mérik. A VMG alkalmazásakor a lipid ADC értékének mérésében nagy javulás figyelhető meg. Úgy tűnik, hogy a 11 000 fordulat / perc WF fantomban az ADC mérést nem befolyásolják nagyon a rezgések, ezért a 3 mérési forgatókönyv nagyon hasonló lipid ADC értékeket ad. Mindkét fantom különbségét a 2 fantomon belüli különböző olajcseppméretek magyarázhatják, amelyek a fantomok különböző viszkoelasztikus tulajdonságait eredményezik: a 11 000 fordulat / perc fantom viszkózusabb, mint a 6000 fordulat / perc fantom. Ezért a rezgések általános jelvesztésre gyakorolt ​​hatása nagymértékben függ a szövet tulajdonságaitól, és nagyon változhat a különböző szövettípusok között. Meg kell azonban jegyezni, hogy a VMG nem okoz műtermékeket az ADC mennyiségi meghatározásában, ha a kiegészítő gradiens nélküli becslés már elegendő (amint az a 11 000 fordulat / perc WF fantomban is látható). Ezért a VMG alkalmazása összességében javítja a fantomokban mért lipid ADC-érték pontosságát.

Az in vivo lipid ADC becslésének variációs együtthatója szignifikánsan csökkent, amikor a VMG-t mindhárom önkéntesnél alkalmazták. A lipidek diffúziós tulajdonságainak helyes becslése különösen fontos, ha magas rendű hatásokat, például diffúziós restrikciós hatásokat vizsgálnak. 12 Az ADC-érték egy 80 µm átmérőjű zsírsejtben in vivo körülbelül 1% -kal változik 100 ms diffúziós idő növekedésével.

Ezért nagy pontosságra van szükség a DW jelfelvétel során. A bemutatott módszer felhasználható a DW MR-mérések minőségének és végül a lipidcseppméret-becslés pontosságának javítására.

A javasolt tanulmánynak a következő korlátai vannak: Először is, a lézeres interferométer és a DW-MRS adatokat később szerezték be, és nem ugyanazon fantomban. A kísérleti korlátozások azonban nem tették lehetővé egyidejű megszerzést ugyanazokban a fantomokban. Következésképpen a 6. ábra szerinti felhalmozódott fázisgörbe és a metiléncsúcs-amplitúdó közötti kicsi eltérés nagy valószínűséggel a különböző viszkoelasztikus hatású fantomanyagokkal magyarázható. Ez az anyagtulajdonságok közötti különbség eltérésekhez vezet a megfigyelt elmozdulásban, különböző frekvenciákkal és csillapítással. Az általános tendencia azonban ebben az egyesített, különböző kísérleteken alapuló adatkészletben is látható. Másodszor, a fázisdiszperziót csak 2D felületen mértük, és nem 3D térfogatban. Az intravoxel-leválasztó hatás és a megfelelő jelveszteség pontos becsléséhez a 3D térfogat minden egyes pontjára ki kell számítani a felhalmozott fázist. Az alkalmazott lézeres interferométeres módszertan azonban csak mélységinformációk nélkül engedi meg a felszínen történő méréseket. Mivel a fázisdiszperziós hatások még egy 2D-s felületen is láthatók, a fázisdiszperziós hatások várhatóan jelen lesznek, és még súlyosabbak lehetnek, ha a méréseket kiterjesztették volna 3D-s elemzésre. A bemutatott mérések nem teszik lehetővé a 3D intravoxel fázisdiszperzió pontos kvantifikálását, azonban a 2D felületi információk alapján arra lehet következtetni, hogy a VMG alkalmazásakor csökkenteni kell a jelveszteséget.

A diffúzióval súlyozott szekvenciák rezgéstermékeinek csökkentésének másik módja az alkalmazott gradiensek által keltett akusztikus zaj csökkentése lenne. Ezt úgy lehet elérni, hogy vagy az időben változó diffúziós gradiens frekvenciáját a 24 szkenner gradiens válaszfüggvény minimumjaival illesztjük, vagy a diffúziós gradiensek fordulatszámának csökkentésével. A fenti megközelítések azonban kevesebb rugalmasságot eredményeznének a szekvencia időzítésének kiválasztásában, és valószínűleg a hosszan tartó TE-khez vezetnének.

A javasolt megközelítés elméletileg alkalmazható más DW MR szekvenciákban, kisebb vagy elhanyagolható időbüntetéssel, a VMG hozzáadásával a diffúziós készítmény megkezdése előtt.

A rezgésállapotok még jobb megfeleltetése érhető el a VMG kiterjesztésével, és további további gradiensek (pl. Szeletválasztó gradiensek vagy spoiler gradiensek) hozzáadásával a gradiens prepulzusba. A javasolt megközelítés érdekes lehet az agy DW képalkotásában is, ahol korábban vibráció okozta artefaktumokról számoltak be. 7 Különösen gyermekgyógyászati ​​esetekben a vibrációs hatások még súlyosabbak lehetnek a betegek könnyű súlya és a szkenner hardverének tipikus optimalizálása miatt a felnőttek súlya és méretei szempontjából. 8 Az általános tendencia a magas felé b- az agy diffúziója, amely lehetővé teszi a nagy felbontású diffúziós tenzor képalkotást rostkövetéssel, az erősebb és hosszabb diffúziós gradiensek költségeivel jár. 9 A gradiens szkenner hardverére vonatkozó ilyen szigorúbb követelmények várhatóan növelik a rezgéstermékek előfordulását és erősségét. A javasolt VMG nem képes teljesen helyreállítani az elveszett jelet, de a megszerzés idején kisebb büntetéssel csökkentheti a műtárgyat. A további vizsgálatoknak a javasolt technika alkalmazására kell összpontosítaniuk a DW egyéb mérésein a műtermékek csökkentése érdekében.


Mérnöki és kapcsolódó tervezés NC (V) 2-4. Szint

A National Certificate (Vocational) (Engineering and Related Design) egy új mérnöki és kapcsolódó tervezői képesítés az NQF 2., 3. és 4. szintjén. Ez a képesítés célja a mérnöki és a kapcsolódó tervezés elmélete és gyakorlata egyaránt. A tanulmány gyakorlati része felajánlható valós munkahelyi környezetben vagy szimulált munkahelyi környezetben. Lehetőséget fog biztosítani a hallgatók számára, hogy megtapasztalják a munkahelyi helyzeteket a tanulmányi időszak alatt.

Alapvető kötelező tárgyak:

  • Első kiegészítő nyelv & # 8211, amelynek a tanítás és a tanulás nyelvének kell lennie
  • Matematika vagy matematikai műveltség és
  • Életorientáció

Szakmai tantárgyak

  • Mérnöki alapismeretek
  • Mérnöki technológia
  • Mérnöki rendszerek

És az alábbiak egyike

És az alábbiak egyike

És az alábbiak egyike

Karrier utak

  • Részt vesz az épületek tervezésében és kivitelezésében
  • Vegyen részt szerszámok, gépek és motorok gyártásában
  • Vegyen részt a gépek üzemeltetésének karbantartásában
  • Fémes és nemfém ásványok kinyerése
  • A tengely és a szellőztető rendszerek tervezése
  • Mérnöki rajzok, térképek, vázlatok és számítógépes tervezés (CAD) értelmezése és elkészítése
  • Készítsen elő eszközöket, berendezéseket, módszereket és folyamatokat az alkatrészek előállításához

Karrier lehetőség

  • Kohászati ​​és anyagmérnöki szak
  • Felszerelés és megmunkálás
  • Vegyészmérnöki
  • Gépipar
  • Kőolaj-mérnöki munka
  • Autógyártás / li>
  • Légközlekedési mérnökség
  • Eszközkészítés

Az új főiskolai létesítmények bevezetése

# ÉLET MENTÉSE MEGTAKARÍTJA AZ AKADÉMIAI ÉVET

Dr. Ramneek felsőoktatási vezérigazgató, a SABC Morning Live munkatársa arról beszél, hogy tervei szerint az ifjúságot társadalmi változás ügynökeivé varázsolják a harcban # COVID-19

Nkosi úr és # 038 Dr. Schuur interjú


Mechanikus rendszerek belső optimális vezérlése a Lie Group-on.

A hagyományos módszerek leírják a mechanikus rendszert egy lapos euklideszi térben, helyi koordinátával, és a helyi koordináta által okozott probléma elkerülhetetlen, például az Euler-szögek által okozott szingularitás és kétértelműség [1]. A Lie csoport hatékony és megbízható eszköz a mechanikus rendszerek állapotainak reprezentálására belső koordinátáktól mentes megközelítésben. A mechanikai rendszerek pózja (azaz helyzete és attitűdje) a Lie csoport elemeként írható le, és a sebesség meghatározható a megfelelő érintő téren. Helyi koordináták nélkül a Lie csoporton alapuló rendszermodell tömör és kompakt [2].A geometriai módszer alkalmazásával megőrzik a mechanikai rendszer megfelelő geometriai jellemzőit, és biztosítják a rendszer geometriai nézőpontját.

A nemlineáris vezérlés elméletében számos hagyományos munkát fejlesztettek ki sík térben, helyi koordinátákkal [3]. Ezek a szabályozási módszerek azonban nem alkalmazhatók a Lie-csoport által közvetlenül képviselt rendszerre. Tehát kompatibilis belső geometriai szabályozási módszerre van szükség a Lie csoporton belüli rendszerhez. Bullo és Murray biztosította a vezérelhetőség feltételét a Lie csoportnál, és bemutattak egy geometrikus PD vezérlő keretet az SO (3) és SE (3) teljesen működtetett mechanikus rendszereihez [4-6]. A konfigurációs hibát a Lie-csoport geodéziájával írták le, és az energiafüggvény exponenciális konvergenciáját kapták. Maithripala a Lie csoporton belül egy belső Luenberger-megfigyelőt tervezett, amely belső információkat tartalmaz, és koordinátamentes nyomkövetőt biztosít a Lie-csoport mechanikus rendszereihez [7-9]. Bevezett egy belső geometriai PID módszert kovariáns differenciálással a bal-invariáns vagy jobb-invariáns rendszer számára [3, 10]. Bullo és mtsai. sima Morse függvényt használt konfigurációs hiba funkcióként, amely a konfigurációs hibát indukálta a Lie csoport természetkoordinátájában. Ezután az SO (3) és az SE (3) geometriai PD vezérlőket tervezték és egy kvadrotoron alkalmazták [2, 11-13]. Sőt, Lee és mtsai. biztosította a számítási optimális geometriai módszert SO (3) -on [14, 15], és a Pontryagin maximum elvet alkalmazta egy nyitott hurok időoptimális probléma megoldásának elérésére. Spindler a Pontryagin maximum elv alapján biztosította azokat a differenciálegyenleteket, amelyeknek az optimális kontrolloknak meg kell felelniük. A javasolt eredményeket pedig űrhajókra alkalmazták [16]. Saccon és mtsai. az LQR-szerű zárt hurkú optimális szabályozási módszert alkalmazták SO (3) -on, euklideszi távolsággal [17]. És Berkane és Tayebi geodéziai távolságot használtak SO (3) -on az euklideszi távolság helyettesítésére, és egy analógia Riccati-egyenletet nyertek [18]. A kinetika ismeretlenségével azonban ezek a zárt hurkú optimális megoldások csak a rendszer kinematikája szempontjából működnek.

Ez a cikk kiterjeszti a zárt hurkú optimális szabályozási módszert a Lie-csoport mechanikus rendszereinek osztályára, figyelembe véve a kinematikát és a kinetikát is. A Lie csoport mechanikus rendszereinek belső modelljével a visszacsatolás-vezérlő hurok a megfelelő tangens térben visszacsatolásos linearizálási módszerrel biztosított, és a Lie-csoport mechanikus rendszerének egyszerűbb névleges modelljét kapjuk. Ez a megközelítés biztosítja az analitikai szempontból optimális megoldás elérhetőségét. A költségfüggvény a Riemann metrikán alapul, és az optimális szabályozási probléma megoldására dinamikus programozási megközelítést alkalmaznak. A Lie-csoport nominális rendszerének optimális megoldását a Hamilton-Jacobi-Bellman-egyenlet viszkozitási megoldásaival mutatjuk be. Végül a belső optimális szabályozási módszert alkalmazzuk a kvadrotor rotációs dinamikájára, amelynek konfigurációs sokasága standard SO (3). Az optimális belső kontroll módszer teljesítményét átfogó szimulációkkal mutatják be.

2. Lie Group és Riemann Manifold

2.1. Lie Group és Lie Algebra. A G hazug csoport sima sokaság beágyazott sima csoportszerkezettel. q [G tagja] a Lie csoport eleme, érintőtere pedig [T.q] G. Ha q megegyezik a Lie csoport e azonossági elemével, akkor a megfelelő [tangens] tér G a Lie algebra tér. A g [egyenértékű] [R.sup.n] Lie algebrai tér izomorf az euklideszi térrel szemben, és egy sík tér, ahol n a Lie csoport dimenzióját jelöli. Ekkor a Lie csoport tetszőleges elemének érintőtere baloldali fordítási művelettel nyerhető el.

Q, h [G] tagja esetén egy térkép [L.sub.q]: G [jobbra nyíl] G, h [jobbra nyíl] qh, ha az X vektormező a Lie csoportban X (qh) = [T .sub.h] [L.sub.q] X (h), ahol [T.sub.h] [L.sub.q] a [L.sub.q] tangens térképe h-nál, a vektor mező X bal invariáns, az [L.sub.q] térkép pedig balra fordító térkép.

A Lie csoporton az exp: g [jobbra nyíl] G exponenciális térkép egy lokális diffeomorfizmus. A Lie Lie algebra tér használható a G Lie csoport elemeinek reprezentálására exponenciális térképen keresztül. Az exponenciális térkép inverz térképe logaritmikus térképnapló: G [jobbra nyíl] g. A logaritmikus térkép a Lie csoport helyi diagramjának tekinthető. A Lie csoport minden eleme kifejezhető Lie algebra térben a logaritmikus térképen keresztül.

Mechanikai rendszer esetén a póz a Lie-csoport egyedi elemeként írható le, a mechanikus rendszer folyamatos mozgása pedig a Lie-csoport sima integrálgörbéjeként írható le. Sebességét az integrálgörbe minden elemének érintőterén határozzuk meg. A Lie csoport és a Lie algebra átfogó bemutatása megtalálható [19, 20].

2.2. Riemann Metric. A Riemann-metrika egy másodrendű kovariancia tenzor g: TG x TG [jobbra nyíl] R. A q [G] tagja minden elemére [g.q] szimmetrikus pozitív, határozott bilináris forma az érintőtéren [T.qq] G. A [g.sub.q] metrikát & lt & lt *, * & gt & gt szimbólummal jelöljük. A G fordítási térkép egy inerciális tenzor térképet indukál az I érintőtérben: TG [jobbra nyíl] T * G, ahol T * G a TG tangens tér kettős tere. Az inerciális tenzor segítségével egy bal invariáns Riemann-metrika indukálható a Lie G csoporton, mivel a [matematikai kifejezés nem reprodukálható] a q [G tagja] vektormezõje.

2.3. Levi-Civita kapcsolat. A Riemann & lt & lt *, * & gt G metrikával egyedülálló torziómentes kapcsolat van, ami a Levi-Civita kapcsolat. Az X = [X.sup.k] [E.sub.k] és Y = [Y.up.k] [E.sub.k] vektormezők esetén a Levi-Civita kapcsolat

[nabla] X = (d [X.sup.k] (Y) + [w.sup.k.sub.ij [Y.sup.i] [X.sub.j]) [E.sub.k] . (1)

A [w.sup.k.sub.ij kifejezések az <[E.sub.k]> keret kapcsolati együtthatói. A Riemann-metrika a Lie G csoporton balinvariáns, akkor a kapcsolati együtthatók állandóak, amelyek a

[wsup.k.sub.ij = 1/2 [C.sup.k.ub.ij] - [F.sup.ks] ([F.sub.ir] [C.sup.r.sub. js] + [F.sub.jr [C.sup.r.is]). (2)

ahol [C.sup.kub.ij] a keret szerkezeti állandói <[E.sub.k]>.

2.4. Mechanikus rendszerek a Lie Group-on. Ha a mechanikus rendszer konfigurációs sokasága egy Lie Lie csoport, akkor a sebesség meghatározható az érintőtéren. Az érintőtér Riemann-mutatója felhasználható a mechanikai rendszer kinetikus energiájának leírására. A q [G] tag konfigurációjához kapcsolódó sima Morse-függvény található meg a potenciális energia leírására [3]. Az általánosított erőket mind a kotangens tér határozza meg, amely az érintő tér kettős tere.

A Lie G csoport Riemann-metrikájával a mechanikai rendszer kinetikus energiája a következő: [matematikai kifejezés nem reprodukálható], ahol [a matematikai kifejezés nem reprodukálható], és az u (q) sima Morse függvényt használjuk a potenciális energia meghatározására. q-n [tagja]. Ezután a Lie-csoport mechanikus rendszerének belső Euler-Poincare-egyenleteit a

[a matematikai kifejezés nem reprodukálható] (3)

ahol [f.sup.c] (q) a konzervatív erő, [f.sup.d], [xi]) a nedves erő, és [f.sup.u] (q, [xi]) a általános vezérlőerő. [f.sup.c] (q), [f.sup.d] (q, [xi]), [f.sup.u] (q, [xi]) e T * G, és kovariáns származék [matematikai kifejezés nem reprodukálható] kielégíti a [matematikai kifejezés nem reprodukálható] feltételt. Vegye figyelembe azt a tényt, hogy a Levi-Civita kapcsolat bal invariáns, és a (3) kifejezés is kifejezhető

[a matematikai kifejezés nem reprodukálható], (5)

ahol az [ad.sup. *. sub. [xi]] a Lie algebra [xi] [g] tagja kettős terének mellékoperátora.

3. A hazugságcsoport optimális belső problémája

3.1. Probléma nyilatkozat. A Lie csoport mechanikus rendszeréhez az általános másodrendű geometriai optimális vezérlési probléma a következőképpen fogalmazható meg. Tekintettel a [q.sub.0] [G] tagja, [[xi] .sub.0] [g] tagja és [t.sub.0] feltételre, figyelembe vesszük az optimalizálási problémát

[a matematikai kifejezés nem reprodukálható] (6)

figyelembe véve a (4) kinematikai egyenletet és az (5) kinetikai egyenletet, ahol C (q (t), [xi] (t), [f.sup.u] (t)) növekményes költségtétel és le van írva másodfokú formában [a matematikai kifejezés nem reprodukálható].

Az inkrementális költségtétel azt jelenti, hogy a geometriai állapothibát és a vezérlő bemenetet figyelembe vesszük a költségfüggvényben. log: G [jobbra nyíl] g a Lie csoport logaritmus-térképe, amely a Lie algebrai térben megtalálja a Lie-csoport tetszőleges elemének megfelelő elemét. [eta] = log (q) [g] tagja a q elem [G tagja] exponenciális koordinátái, és a q [G] tagja és e [G] tagja közötti geodéziai távolság megadható az exponenciális koordináták metrikája adja meg [a matematikai kifejezés nem reprodukálható]. Az inkrementális költség hasonló a lineáris rendszer LQR problémájához. (1/2) [párhuzamos] log (q) [[párhuzamos] .sup.2] és (1/2) [párhuzamos] [xi] [[párhuzamos] .sup.2] a rendszerkonfigurációs hiba Riemann-mutatóját képviseli illetve a megfelelő sebességhiba. (a / 2) [párhuzamos] [f.sup.n] (i) [[párhuzamos] .sup.2] jelzi a vezérlő energiát. A súly és a gt0 a kontroll energiafogyasztásával függ össze.

3.2. Dinamikus egyenlet visszacsatolás elválasztása. Az (5) rendszer esetében a dinamikus egyenlet a Lie algebrai térben van. Annak ellenére, hogy a Lie algebrai tér lapos és izomorf az euklideszi térrel szemben, a rendszer összekapcsolódik. Ez extrém komplex parciális differenciálegyenlethez vezethet a nemlineáris optimális problémában, és a parciális differenciálegyenlet analitikai megoldását szinte lehetetlen beszerezni. Az analitikai megoldás megszerzéséhez egy extra visszacsatoló elemet használnak a rendszer dinamikus egyenletének leválasztására.

A megfelelő feltételezések szerint a konzervatív erő [f.sup.c] (q) és a nedves erő [f.sup.d] (q, [xi]) mind ismertek, a dinamikus (5) visszacsatolás-vezérlése

[f.sup.u] = Iv - [] ad.sup. *. sub / [xi]] + [f.sup.c] (q) + [f.sup.d] (q, [xi]) ]. (7)

Az (5) bekezdésben a mechanikai rendszerek I. inerciális tenzor térképe pozitív, majd az inverz tenzor térkép [I.sup.-1]: [T.sup. *] G [jobbra nyíl] TG megtalálható az összes idő. A visszacsatoló vezérlés (7) segítségével a rendszer dinamikus (5) egyenlete átkerül a (z) -be

ahol v [tagja] 0 TG a rendszer virtuális vezérlési terminusa. És (8) az (5) névleges dinamikus rendszere a visszacsatolással (7). Ezután az optimális problémát a kinematika (4) és a nominális dinamika (8) vizsgálja.

3.3. Végtelen Horizon Optimal Control megoldás. Vegye figyelembe a Lie-csoport mechanikai rendszerének következő optimális szabályozási problémáját:

[a matematikai kifejezés nem reprodukálható], (9)

A dinamikus programozási megközelítés segítségével az optimális kontrollprobléma tanulmányozható a V (q, [xi]) időinvariáns értékfüggvény megvizsgálásával, amelynek a Hamilton-Jacobi-Bellman-egyenlet egyedi viszkozitási egyenletének kell lennie. A [21-23] szerint az V (q, [xi]) értékfüggvény kielégíti az egyenletet

[a matematikai kifejezés nem reprodukálható] (11)

ahol [a matematikai kifejezés nem reprodukálható] a Lagrange-forma az optimális célkitűzésben (9), és p a Lagrang-szorzó vektor. F (q, [xi], v] = [qx [xi], v] .sup.T] a kinetikus és dinamikus függvényvektor. V grad az V értékfüggvény gradiense (q, [xi]) és grad V = [[[részleges származék] V / [részleges származék] q, [részleges származék] V / [részleges származék] [xi]]. sup.T]. Vegye figyelembe, hogy az V (q, [xi]) függvény idő-invariáns, akkor van [parciális derivált] V / [parciális derivált] t = 0.

Az V (q, [xi]) függvény kielégíti H (q, [xi] grad V) = 0 értéket, ami azt jelenti

[a matematikai kifejezés nem reprodukálható] (12)

1. tétel: Az optimális kontroll [v.sup. *], Amely kielégíti (12), az

[a matematikai kifejezés nem reprodukálható] (13)

és a megfelelő V (q, [xi]) függvény a parciális differenciálegyenlet megoldása:

[a matematikai kifejezés nem reprodukálható] (14)

Bizonyíték. Határozzon meg egy funkciót [a matematikai kifejezés nem reprodukálható], amelyet kaphatunk

[a matematikai kifejezés nem reprodukálható] (15)

ami másodfokú forma. A minimális érték és a megfelelő kontroll [v.sup. *] A másodfokú egyenlet specialitásaival nyerhető meg. Azután

[a matematikai kifejezés nem reprodukálható] (16)

A megfelelő kontroll [v.sup. *] = - (1 / a) * ([részleges származék] V / [részleges származék] C). És az V függvény kielégíti a H = 0 egyenletet. Vegye figyelembe, hogy a másodfokú egyenlet megoldása csak akkor érvényes, ha egy nyitott halmazra korlátozódik.

A 2. tétel: [a matematikai kifejezés nem reprodukálható] a (14) parciális differenciálegyenlet megoldása az együtthatókkal:

[a matematikai kifejezés nem reprodukálható] (17)

Bizonyíték. Az V (q, [xi]) függvény gradiensének megszerzéséhez az idő levezetése szükséges.

[a matematikai kifejezés nem reprodukálható] (18)

Akkor vegye figyelembe az időderivált és a részleges deriváltak közötti kapcsolatot

[a matematikai kifejezés nem reprodukálható] (19)

A Riemann-mutató bal invariáns, ami azt jelenti

[a matematikai kifejezés nem reprodukálható]. (20)

A (18) és (20) összehasonlításával az értékfüggvény parciális deriváltjai kifejezhetők

[a matematikai kifejezés nem reprodukálható] (21)

A (21) -et (14) -be véve az egyenlet

[a matematikai kifejezés nem reprodukálható] (22)

Egyszerűsítve az egyenletet a Riemann-mutató tulajdonságokkal, megvan

[a matematikai kifejezés nem reprodukálható] (23)

Ahhoz, hogy tetszőleges q és [xi] megfeleljen a (23) azonos egyenletnek, az együtthatóknak meg kell felelniük a következő feltételeknek:

[a matematikai kifejezés nem reprodukálható] (24)

Ezután a (24) megoldásának négy halmazát kaphatjuk meg

[a matematikai kifejezés nem reprodukálható] (25)

Néhány megoldás azonban nem biztosíthatja, hogy az ellenőrzési törvény stabilizálja az államokat. Ezután a dinamikus rendszer stabilitási elméletén keresztül választjuk meg a megfelelő megoldást.

Az 1. javaslattal a (4) és (8) Lie-csoportok mechanikai rendszerének optimális visszacsatolás-vezérlése az

[v.sup. *] = -1 / [alfa] [([k.sub2] + [k.sub2] [xi] + [k.sub] log (q)]. (26 )

Végül a (4) és (5) Lie csoportok általános mechanikai rendszeréhez az optimális vezérlés az

[a matematikai kifejezés nem reprodukálható] (27)

Ne feledje, hogy az optimális vezérlés (27) topológiai felépítése egy geometriai PD visszacsatolásos vezérlő keret, amint azt a [8] mutatja. [K.sub.p] = [k.sub.3] és [k.sub.d] = [k.sub.2] + [k.sub.3] esetén bebizonyosodott, hogy ha [k.sub.p] A .p] és a [k.sub.d] pozitív, a geometriai PD szabályozási törvény lokálisan exponenciálisan stabilizálja a q állapotot az azonosság elemnél (lásd [8], 6. tétel).

Vegye figyelembe az [alfa] és gt 0 súlyt, hogy megbizonyosodjon arról, hogy az optimális kontrolltörvény képes stabilizálni a q állapotokat, és [xi], [k.sub.p] és [k.sub.d] pozitívnak kell lennie. Ekkor a [[GAMMA] .l] a (24) képletű vegyület egyedülálló megfelelő megoldása.

Az optimális vezérlés (27) nem a helyi koordinátáktól függ. Csak a mechanikus rendszer belső információit használja, és az optimális vezérlés belső. Megjegyezzük, hogy az optimális vezérlés (27) nagyon hasonlít az LQR probléma megoldására egy időinvariáns lineáris rendszer esetében [24].

A javasolt vezérlő algoritmus (27) hatékonyságának értékeléséhez a Lie-csoport mechanikus rendszereinek osztályán szimulációkat hajtanak végre a javasolt belső optimális szabályozási módszerrel, a belső geometriai kvadrotor rotációs dinamikája szempontjából a Lie csoport SO-ján (3). A szimulációkat a MATLAB / Simulink segítségével fejlesztették ki, és a Crouch-Grossman numerikus integrációs módszert úgy alakították ki, hogy megvédje a Lie csoport geometriai szerkezetét [25]. Alapértelmezés szerint a MATLAB / Simulink 16 jegyű pontosságot használ. A szimulációs idő lépés 0,01 s.

A forgásdinamika [f.sup.d] (q, [xi]) és a konzervatív erő [f.sup.c] (q) = 0 figyelembevétele nélkül a kvadrotor koordinátamentes geometriai forgási dinamikája [26]

[a matematikai kifejezés nem reprodukálható] (28)

ahol R [SO (3) tagja) a kvadrotor forgásának konfigurációja, w = [[[w.sub]], [w.sup.2], [wsup.3]]. ] e [R.sup.3] a testhez rögzített keret forgási sebessége, [ad.sup. *. sub.w] Jw = -wx Jw, M [tagja] T * SO (3) a ellenőrzési pillanat és kalaptérkép [??]: [R.sup.3] [jobbra nyíl] tehát (3) egy Lie algebra izomorfizmus

[a matematikai kifejezés nem reprodukálható] (29)

Tegyük fel, hogy a kvadrotor axiális szimmetria, és az inerciális tenzor J = diag <0,0114,0,0114, 0,0227> kg x [m 2]. A kezdeti feltételeket a következő formában adjuk meg: [a matematikai kifejezés nem reprodukálható], és [w0 =] = [0,01 0,01 0,01]. A különböző súlyú a szabályozási nyereségeket az 1. táblázat mutatja. Az optimális szabályozási törvény (27) alkalmazásával az optimális végtelen horizont szabályozási eredményeket az 1-6.

Az exponenciális koordinátával [a matematikai kifejezés nem reprodukálható] a kvadrotor attitűd konfigurációs hibája meghatározható [e.sub.R] = X, a konfigurációs hiba függvény pedig az X e vektor 2-normája [matematikai kifejezés nem reprodukálható]. R3. Az SO (3) logaritmikus térképének analitikai képlete az [5,18] -ban található. Az optimális végtelen horizontszabályozási probléma esetén a konfigurációs hiba idővel nullára konvertálódik, ahogy az 1. ábra mutatja. Amikor [psi] (R) = 0, R = I [SO] tagja (3) és (R, 0 ) a kvadrotor forgási dinamikájának stabil pontja (28). A kvadrotoros attitűd különböző súlyú konfigurációs hibáit a 2. ábra mutatja be. Amint látható, a nagyobb súly a kevesebb kontrollt és gyengébb dinamikus teljesítményt jelent. Ez analóg az lineáris rendszer LQR módszerével.

A forgási sebességeket és a vezérlőnyomaték bemeneteket a 3., illetve a 4. ábra mutatja. Az 1. ábra azt mutatja, hogy egy kisebb a a rendszer gyorsabb válaszsebességéhez vezet, és nagyobb sávszélességet eredményez. A kontroll pillanat teljes fogyasztását [matematikai kifejezés nem reprodukálható ]ként definiáljuk, a virtuális vezérlés pedig [matematikai kifejezés nem reprodukálható]. A kontroll energiafogyasztást a 2. táblázat mutatja. Az eredmények azt mutatják, hogy egy kisebb a kisebb virtuális vezérlő energiához vezet. Ugyanazokkal a kezdeti feltételekkel és inerciális tenzorral a kisebb virtuális vezérlés lassabb forgási sebességet és kisebb szabályozási momentumokat eredményez.

(9) és (27) szerint a minimalizált függvényértékek [J. *] = 7 ([g0.0], [[xi] 0], [t.sub.0], [v.sup. *]) különböző súlyú a látható a 6. ábrán.

A Lie-csoport mechanikai rendszereinek belső információinak felhasználásával egy geometriai optimális szabályozási problémát vizsgálnak. A visszacsatolási visszacsatolási ciklust alkalmazzák annak biztosítására, hogy az analitikai megoldás elérhető legyen. Dinamikus programozási megközelítést alkalmazva a Hamilton-Jacobi-Bellman-egyenletet kapjuk a geometriai optimális szabályozási probléma analitikai megoldásának megszerzéséhez. A javasolt optimális vezérlő algoritmus hatékonyságát szimulációk segítségével szemléltetjük. A jövőbeni munka magában foglalja a külső zavarok, bizonytalanságok és megközelítések figyelembevételét a belső információk hagyományos érzékelőkkel történő megszerzéséhez.

A szerzők kijelentik, hogy a cikk megjelenésével kapcsolatban nincsenek összeférhetetlenségek.

Ezt a munkát a Kínai Nemzeti Természettudományi Alapítvány támogatja az 1. sz. 11572036. A szerzők köszönetet mondanak Yun Yuhangnak és Wang Tianningnak hasznos megjegyzéseikért és nyelvi szerkesztésükért, amelyek jelentősen javították a kéziratot.

[1] T. Lee, "Merev test attitűddinamikájának geometriai nyomon követése az SO-n (3)", Proceedings of the American Control Conference (ACC '11), 1200–1205. Oldal, San Francisco, Kalifornia, USA, 2011. július.

[2] F. Bullo és A. D. Lewis, Mechanikai rendszerek geometriai vezérlése: modellezés, elemzés és tervezés egyszerű mechanikus vezérlőrendszerekhez, vol. 49, Springer Science & amp Média, 2004.

[3] D. H. Maithripala és J. M. Berg, "Egy belső PID-vezérlő a Lie-csoportok mechanikai rendszereihez", Automatica, vol. 54., 2015, 189-200.

[4] F. Bullo, "Változatlan affin kapcsolatok és irányíthatóság a hazug csoportokon", Végső projektjelentés a CIT-CDS 141a-hoz, Kaliforniai Műszaki Intézet, 1995.

[5] F. Bullo és R. M. Murray, "Proporcional derivative (PD) control on the euclidean group", Proceedings of the European Control Conference, vol. 2, 1091-1097, 1995.

[6] F. Bullo és R. M. Murray, "Teljesen működtetett mechanikus rendszerek követése: geometriai keret", Automatica, vol. 35. sz. 1, 17-34, 1999.

[7] D. H. Maithripala, J. M. Berg és W. P. Dayawansa, "Az egyszerű mechanikai rendszerek szinte globális nyomon követése a Lie-csoportok általános osztályán", Institute of Electrical and Electronics Engineers. Tranzakciók automatikus vezérléssel, vol. 51. sz. 2, 2006, 216–225.

[8] D. H. Maithripala, J. M. Berg és W. P. Dayawansa: "Koordináták nélküli megközelítés a hazug csoportok egyszerű mechanikai rendszereinek nyomon követésére", New Directions and Applications in Control Theory, vol. 321, 223–237., 2005.

[9] D. H. Maithripala, W. P. Dayawansa és J. M. Berg, "Intrinsic megfigyelő-alapú stabilizáció egyszerű mechanikai rendszerek Lie csoportokon", SIAM Journal on Control and Optimization, vol. 44. sz. 5, 1691-1711, 2005.

[10] D. H. S. Maithripala és J. M. Berg, "Egy belső robusztus PID-vezérlő a hazugságcsoportokon", a 2014. évi 53. IEEE éves konferencia a döntéshozatalról és ellenőrzésről, CDC 2014, 5606-5611., 2014. december.

[11] T. Lee, "Geometriai adaptív vezérlés egy merev test légi szállításához", Mathematics, 2015.

[12] T. Lee, M. Leok és N. H. McClamroch: "A kvadrotoros UAV geometriai nyomon követése a szélsőséges manőverezhetőség érdekében", Proceedings of the 18th IFAC World Congress, pp. 6337-6342, 2011. szeptember.

[13] T. Lee, M. Leok és N. McClamroch, "Quadrotor UAV geometriai nyomon követésének ellenőrzése SE-n (3)", a 49. IEEE döntési és ellenőrzési konferenciájának (CDC '10) anyagában, Atlanta, Ga, USA, 2010. december.

[14] T. Lee, M. Leok és N. H. McClamroch: "Merev test optimális attitűdszabályozása geometriai szempontból pontos számításokkal SO-n (3)" Journal of Dynamical and Control Systems, vol. 14. sz. 4, 465-487, 2008. o.

[15] T. Lee, Számítógépes geometriai mechanika és a merev testek irányítása, Michigani Egyetem, 2008.

[16] K. Spindler, "Optimális vezérlés a Lie csoportokon az attitűdkontroll alkalmazásával", A vezérlés matematikája, jelek és rendszerek, vol. 11. sz. 3, 197-219, 1998.

[17] A. Saccon, J. Hauser és A. P. Aguiar, "A kinematikus optimális kontroll feltárása a hazugságcsoporton SO (3)", IFAC Proceedings Volumes, vol. 43. sz. 14, 1302-1307, 2010.

[18] S. Berkane és A. Tayebi, "Néhány optimalizálási szempont a Lie Group SO-nél (3)", IFAC-PapersOnLine, vol. 48. sz. 3, 1117-1121, 2015.

[19] D. H. Sattinger és O. L. Weaver, Lie csoportok és algebrák a fizika, a geometria és a mechanika alkalmazásával, vol. Alkalmazott matematikai tudományok, Springer Science & amp Business Media, 2013, 61.

[20] A. Iserles, H. Z. Munthe-Kaas, S. P. N0rsett és A. Zanna, "Liegroup Methods", Acta Numerica, vol. 9, 215-365, 2000.

[21] A. Bressan, "Hamilton-Jacobi egyenletek viszkozitási megoldásai és optimális kontrollproblémák", Lecture Notes, 2011.

[22] M. Bardi és I. Capuzzo-Dolcetta, Hamilton-Jacobi-Bellman egyenletek optimális szabályozási és viszkozitási megoldásai, Birkhauser, Boston, Massachusetts, USA, 1997.

[23] D. Liberzon, Variációk és optimális kontrollelmélet számítása, Princeton University Press, Princeton, NJ, USA, 2012.

[24] P. Tsiotras, "Optimális vezérlés műszaki alkalmazásokkal (Geering, H. 2007) [könyvespolc], IEEE Control Systems, vol. 31. szám 5, 2011. 115–117.

[25] E. Hairer, C. Lubich és G. Wanner, Geometriai numerikus integráció: szerkezetmegőrző algoritmusok a közönséges differenciálegyenletekhez, Springer, 2006.

[26] T. Lee, "Global Exponential Attitude Tracking Controls on SO (3)", IEEE tranzakciók az automatikus vezérlésről, vol. 60. sz. 10, 2837-2842, 2015.

Chao Liu, Shengjing Tang és Jie Guo

A repülőgépjármű dinamikájának és irányításának fő laboratóriuma, Oktatási Minisztérium, Repüléstechnikai Iskola, Pekingi Műszaki Intézet, Peking 100081, Kína

A levelezést a Shengjing Tang [email protected] címre kell címezni

Beérkezett 2017. március 31. Felülvizsgált 2017. május 10. Elfogadva 2017. május 30. Megjelent 2017. július 12-én

Akadémiai szerkesztő: Juan C. Marrero

Felirat: 1. ábra: Konfigurációs hiba függvényértékek különböző súlyokkal.

Felirat: 2. ábra: Konfigurációs hibák különböző súlyokkal.

Felirat: 3. ábra: Forgási sebességek különböző súlyokkal.

Felirat: 4. ábra: Különböző súlyú vezérlőnyomatékok.

Felirat: 5. ábra: Optimális virtuális vezérlőjel különböző súlyokkal.


Nézd meg a videót: Pirmykščių funkcijų radimo taisyklės (December 2021).