Cikkek

7.1: Összetett és inverz függvények keresése - matematika


Tanulási célok

A szakasz végére:

  • Keresse meg és értékelje az összetett függvényeket
  • Határozza meg, hogy egy függvény egy az egyhez
  • Keresse meg a függvény inverzét

Mielőtt elkezdené, végezze el ezt a készültségi kvízt.

  1. Ha (f (x) = 2 x-3 ) és (g (x) = x ^ {2} +2 x-3 ), akkor keresse meg a (f (4) ) parancsot.
    Ha elmulasztotta ezt a problémát, tekintse át a 3.48. Példát.
  2. Oldja meg a (x ), (3x + 2y = 12 ) értéket.
    Ha elmulasztotta ezt a problémát, olvassa el a 2.31. Példát.
  3. Egyszerűsítse: (5 frac {(x + 4)} {5} -4 ).
    Ha elmulasztotta ezt a problémát, tekintse át az 1.25. Példát.

Ebben a fejezetben két új típusú függvényt mutatunk be, az exponenciális és a logaritmikus függvényeket. Ezeket a funkciókat széles körben használják az üzleti életben és a tudományokban, amint látni fogjuk.

Keresse meg és értékelje az összetett funkciókat

Mielőtt bemutatnánk a függvényeket, meg kell vizsgálnunk a függvények egy másik műveletét, az úgynevezett kompozíciót. Összetételben az egyik függvény kimenete egy második függvény bemenete. A (z) (f ) és (g ) függvényekhez a kompozíciót (f∘g ) írják, és ((f∘g) (x) = f (g (x)) ) határozza meg.

A (f (g (x)) ) kifejezést a (z) (g ) of (f ) kifejezésének (f ).

Kompozíció elkészítéséhez az első függvény kimenete, (g (x) ) a második függvény bemenetévé válik, (f ), és ezért biztosnak kell lennünk abban, hogy a (f ).

Definíció ( PageIndex {1} )

A (z) (f ) és (g ) függvények összetétele (f cdot g ) van írva, és a

((f circ g) (x) = f (g (x)) )

A (f (g (x)) ) -et (f ) -nek olvashatjuk a (z) (x ) kifejezésből.

Valójában a kompozíciót használtuk anélkül, hogy sokszor használtuk volna a jelölést. Amikor fordításokkal ábrázoltuk a másodfokú függvényeket, akkor függvényeket komponáltunk. Például, ha először parabolaként ábrázoltuk a (g (x) = x ^ {2} ) ábrákat, majd függőlegesen négy egységet toltunk lefelé, akkor a ((f∘g) (x) = f (g (x)) ) ahol (f (x) = x − 4 ).

Példa ( PageIndex {1} )

(F (x) = 4x-5 ) és (g (x) = 2x + 3 ) függvényekhez keresse meg

  1. ((f circ g) (x) )
  2. ((g circ f) (x) )
  3. ((f cdot g) (x) )

Megoldás:

  1. Használja a ((f circ g) (x) ) definíciót.
    Terjeszteni.
    Egyszerűsítse.
    10.1.1. Táblázat
  2. Használja a ((f circ g) (x) ) definíciót.
    Terjeszteni.
    Egyszerűsítse.
    10.1.2. Táblázat

Figyelje meg az eredmény különbségét az a részben. és b rész.

c. Figyelje meg, hogy a ((f cdot g) (x) ) eltér a (((f circ g) (x) ) értéktől. Részben a. megcsináltuk a függvények összetételét. Most a c részben. nem őket komponáljuk, hanem szorozzuk.

Használja a ((f cdot g) (x) ) definíciót.

((f cdot g) (x) = f (x) cdot g (x) )

Helyettesítsen (f (x) = 4 x-5 ) és (g (x) = 2 x + 3 ).

((f cdot g) (x) = (4 x-5) cdot (2 x + 3) )

Szorozzuk.

((f cdot g) (x) = 8 x ^ {2} +2 x-15 )

Gyakorlat ( PageIndex {1} )

(F (x) = 3x-2 ) és (g (x) = 5x + 1 ) függvényekhez keresse meg

  1. ((f circ g) (x) )
  2. ((g circ f) (x) )
  3. ((f cdot g) (x) )
Válasz
  1. (15x + 1 )
  2. (15x-9 )
  3. (15 x ^ {2} -7 x-2 )

Gyakorlat ( PageIndex {2} )

(F (x) = 4 x-3 ) és (g (x) = 6x-5 ) függvényekhez keresse meg

  1. ((f circ g) (x) )
  2. ((g circ f) (x) )
  3. ((f cdot g) (x) )
Válasz
  1. (24 x-23 )
  2. (24 x-23 )
  3. (24 x ^ {2} -38 x + 15 )

A következő példában egy kompozíciót értékelünk egy adott értékre.

Gyakorlat ( PageIndex {3} )

(F (x) = x ^ {2} -9 ) és (g (x) = 2x + 5 ) függvényekhez keresse meg

  1. ((f circ g) (- 2) )
  2. ((g circ f) (- 3) )
  3. ((f circ f) (4) )
Válasz
  1. (-8)
  2. (5)
  3. (40)

Gyakorlat ( PageIndex {4} )

(F (x) = x ^ {2} +1 ) és (g (x) = 3x-5 ) függvényekhez keresse meg

  1. ((f circ g) (- 1) )
  2. ((g circ f) (2) )
  3. ((f circ f) (- 1) )
Válasz
  1. (65)
  2. (10)
  3. (5)

Határozza meg, hogy egy funkció egy az egyben-e

Amikor először vezettük be a funkciókat, azt mondtuk, hogy a funkció olyan reláció, amely a tartomány minden eleméhez pontosan egy elemet rendel a tartományban. A relációban minden rendezett pár esetében minden (x ) - érték csak egy (y ) - értékkel párosul.

A születésnapi példát használtuk a definíció megértésében. Minden embernek van születésnapja, de senkinek nincs két születésnapja, és rendben van, ha két ember megosztja a születésnapját. Mivel minden embernek pontosan egy születésnapja van, ez a kapcsolat függvény.

Egy függvény az 1-1 ha a tartomány minden értékének pontosan egy eleme van a tartományban. A függvény minden rendezett párjához mindegyik y-value csak egy (x ) - értékkel párosul.

Példánk a születésnapi viszonyra nem egy-egy funkció. Két ember ugyanazt a születésnapot töltheti be. Az augusztus 2-i tartomány értéke Liz és június születésnapja, ezért egy tartományi értéknek két tartományi értéke van. Ezért a funkció nem egy az egyben.

Definíció ( PageIndex {2} )

Egy függvény az 1-1 ha a tartomány minden értéke a tartomány egy elemének felel meg. A függvény minden rendezett párja esetén az egyes (y ) - értékek csak egy (x ) - értékkel párosulnak. Nincsenek ismételt (y ) - értékek.

Példa ( PageIndex {3} )

Minden rendezett párkészletnél határozza meg, hogy egy funkciót képvisel-e, és ha igen, akkor a funkció egy az egyhez.

  1. ({(-3,27),(-2,8),(-1,1),(0,0),(1,1),(2,8),(3,27)})
  2. ({(0,0),(1,1),(4,2),(9,3),(16,4)})

Megoldás:

  1. ({(-3,27),(-2,8),(-1,1),(0,0),(1,1),(2,8),(3,27)})

    Minden (x ) - érték csak egy (y ) - értékkel párosul. Tehát ez a reláció függvény.

    De az egyes (y ) - értékek nem párosulnak csak egy (x ) értékkel, például ((- 3,27) ) és ((3,27) ). Tehát ez a funkció nem egy az egyben.

  2. ({(0,0),(1,1),(4,2),(9,3),(16,4)})

    Minden (x ) - érték csak egy (y ) - értékkel párosul. Tehát ez a reláció függvény.

    Mivel minden (y ) - érték csak egy (x ) - értékkel van párosítva, ez a függvény egy az egyhez.

Gyakorlat ( PageIndex {5} )

Minden rendezett párkészlet esetében határozza meg, hogy ez egy függvényt képvisel-e, és ha igen, akkor az egy az egyhez funkció.

  1. ({(-3,-6),(-2,-4),(-1,-2),(0,0),(1,2),(2,4),(3,6)})
  2. ({(-4,8),(-2,4),(-1,2),(0,0),(1,2),(2,4),(4,8)})
Válasz
  1. Egy az egyhez funkció
  2. Funkció; nem egy az egyben

Gyakorlat ( PageIndex {6} )

Minden rendezett párkészlet esetében határozza meg, hogy ez egy függvényt képvisel-e, és ha igen, akkor az egy az egyhez funkció.

  1. ({(27,-3),(8,-2),(1,-1),(0,0),(1,1),(8,2),(27,3)})
  2. ({(7,-3),(-5,-4),(8,0),(0,0),(-6,4),(-2,2),(-1,3)})
Válasz
  1. Nem függvény
  2. Funkció; nem egy az egyben

Annak érdekében, hogy meghatározzuk, hogy egy reláció függvény-e, a függőleges vonal teszt. A téglalap alakú koordinátarendszerben található pontok halmaza a függvény grafikonja, ha minden függőleges vonal legfeljebb egy pontban metszik a gráfot. Továbbá, ha bármely függőleges vonal több ponton keresztezi a grafikont, akkor a grafikon nem egy függvényt képvisel.

A függőleges vonal (x ) - értéket képvisel, és ellenőrizzük, hogy csak egy (y ) - értékben metszik-e a gráfot. Akkor ez egy függvény.

Hasonló folyamatot használunk annak ellenőrzésére, hogy egy funkció egy az egyben van-e. Vízszintes vonalat használunk, és ellenőrizzük, hogy minden vízszintes vonal csak egy pontban metszik-e a grafikont. A vízszintes vonal (y ) - értéket képvisel, és ellenőrizzük, hogy csak egy (x ) - értékben metszik-e a gráfot. Ha minden vízszintes vonal metszi a függvény grafikonját legfeljebb egy pontban, akkor ez egy az egyben funkció. Ez a vízszintes vonal teszt.

Definíció ( PageIndex {3} )

Vízszintes vonal teszt

Ha minden vízszintes vonal metszi a függvény grafikonját legfeljebb egy pontban, akkor ez egy az egyben funkció.

A függőleges vonal teszt segítségével tesztelhetjük, hogy egy reláció grafikonja függvény-e. Ezután a vízszintes vonal teszt alkalmazásával megtudhatjuk, hogy a függvény egy az egyben van-e.

Példa ( PageIndex {4} )

Határozza meg

  1. hogy minden grafikon egy függvény grafikonja-e, és ha igen,
  2. hogy egy az egy

Megoldás:



  1. 10.1.40. Ábra

Mivel bármely függőleges vonal metszi a gráfot legfeljebb egy pontban, a grafikon egy függvény grafikonja. Mivel bármely vízszintes vonal metszi a gráfot legfeljebb egy pontban, a gráf egy-egy függvény grafikonja.

b.

Mivel bármely függőleges vonal metszi a gráfot legfeljebb egy pontban, a grafikon egy függvény grafikonja. A grafikonon látható vízszintes vonal két pontban metszik. Ez a grafikon nem egy az egyben funkciót képvisel.

Gyakorlat ( PageIndex {7} )

Határozza meg

  1. hogy minden grafikon egy függvény grafikonja-e, és ha igen,
  2. hogy egy az egy
Válasz
  1. Nem függvény
  2. Egy az egyhez funkció

Gyakorlat ( PageIndex {8} )

Határozza meg

  1. hogy minden grafikon egy függvény grafikonja-e, és ha igen,
  2. hogy egy az egy
Válasz
  1. Funkció; nem egy az egyben
  2. Egy az egyhez funkció

Keresse meg a függvény inverzét

Nézzünk meg egy-egy függvényt, (f ), amelyet a rendezett párok képviselnek ( {(0,5), (1,6), (2,7), (3,8) } ). Minden (x ) - értékhez (f ) hozzáadja az (5 ) értéket, hogy megkapja az (y ) - értéket. Az (5 ) összeadásának „visszavonásához” levonunk minden egyes (y ) - értékből (5 ) értéket, és visszatérünk az eredeti (x ) - értékhez. Nevezhetjük ezt „az (f ) inverzének felvételével”, és megadhatjuk a (f ^ {- 1} ) függvény nevét.

Figyeljük meg, hogy a (f ) és (f ^ {- 1} ) rendezett párjainak (x ) - és (y ) - értékei megfordulnak. A (z) (f ) tartomány a (f ^ {- 1} ) tartománya, az (f ^ {- 1} ) tartomány pedig a (f ) tartománya.

Definíció ( PageIndex {4} )

A megrendelt párok által definiált függvény inverze

Ha az (f (x) ) egy-egy függvény, amelynek rendezett párjai ((x, y) ) alakúak, akkor annak inverz függvénye (f ^ {- 1} (x) ) a rendezett párok halmaza ((y, x) ).

A következő példában egy rendezett párok által definiált függvény inverzét találjuk meg.

Példa ( PageIndex {5} )

Keresse meg a ( {(0,3), (1,5), (2,7), (3,9) } ) függvény inverzét. Határozza meg az inverz függvény tartományát és tartományát.

Megoldás:

Ez a függvény egy az egyhez, mivel minden (x ) - érték pontosan egy (y ) - értékkel van párosítva.

Az inverz megtalálásához megfordítjuk az (x ) - és az ((y ) - értékeket a függvény rendezett párjaiban.

( begin {tömb} {ll} { text {Funkció}} és { {(0,3), (1,5), (2,7), (3,9) }} { text {Inverse Function}} & { {(3,0), (5,1), (7,2), (9,3) }} { text {Domain of Inverse Function}} & { {3, 5, 7, 9 }} { text {Az inverz függvény tartománya}} és { {0, 1, 2, 3 }} end {tömb} )

Gyakorlat ( PageIndex {9} )

Keresse meg a ( {(0,4), (1,7), (2,10), (3,13) } ) inverzét. Határozza meg az inverz függvény tartományát és tartományát.

Válasz

Fordított függvény: ( {(4,0), (7,1), (10,2), (13,3) } ). Domain: ( {4,7,10,13 } ). Tartomány: ( {0,1,2,3 } ).

Gyakorlat ( PageIndex {10} )

Keresse meg a ( {(- 1,4), (- 2,1), (- 3,0), (- 4,2) } inverzét. Határozza meg az inverz függvény tartományát és tartományát.

Válasz

Fordított függvény: ( {(4, -1), (1, -2), (0, -3), (2, -4) } ). Domain: ( {0,1,2,4 } ). Tartomány: ( {- 4, -3, -2, -1 } ).

Csak megjegyeztük, hogy ha az (f (x) ) egy-egy függvény, amelynek rendezett párjai ((x, y) ) alakúak, akkor az inverz függvénye (f ^ {- 1} (x) ) a rendezett párok halmaza ((y, x) ).

Tehát, ha egy ((a, b) ) pont szerepel a (f (x) ) függvény grafikonján, akkor a rendezett ((b, a) ) pár szerepel az (f ^ {- 1} (x) ). Lásd a 10.1.43. Ábrát.

Bármely két pár ((a, b) ) és ((b, a) ) közötti távolságot felezi az (y = x ) egyenes. Tehát azt mondjuk, hogy a pontok az (y = x ) egyenesen keresztül egymás tükörképei.

Mivel a (f (x) ) függvény grafikonjának minden pontja a (f ^ {- 1} (x) ) grafikonján lévő pont tükörképe, azt mondjuk, hogy a grafikonok egymást az (y = x ) vonalon keresztül. Ezt a fogalmat a függvény inverzének ábrázolására használjuk a következő példában.

Példa ( PageIndex {6} )

Grafikon, ugyanazon koordinátarendszeren, az egy-egy függvény inverze látható.

Megoldás:

A grafikonon lévő pontokat felhasználhatjuk az inverz gráf pontjainak megtalálásához. Néhány pont a grafikonon: ((- 5, −3), (- 3, −1), (- 1,0), (0,2), (3,4) ).

Tehát az inverz függvény a következő pontokat tartalmazza: ((- - 3, −5), (- 1, −3), (0, −1), (2,0), (4,3) ).

Figyelje meg, hogy az eredeti függvény grafikonja és az inverz függvények grafikonja hogyan tükröződik az (y = x ) vonalon.

Gyakorlat ( PageIndex {11} )

Grafikon, ugyanazon koordinátarendszeren, az egy-egy függvény inverze.

Válasz

Gyakorlat ( PageIndex {12} )

Grafikon, ugyanazon koordinátarendszeren, az egy-egy függvény inverze.

Válasz

Amikor megkezdtük az inverz függvény megvitatását, arról beszéltünk, hogy az inverz függvény hogyan „vonja vissza” azt, amit az eredeti függvény a saját tartományában lévő értékkel tett annak érdekében, hogy visszatérjen az eredeti (x ) - értékhez.

Definíció ( PageIndex {5} )

Inverz függvények

(f ^ {- 1} (f (x)) = x ), minden (x ) számára a (f ) tartományban

(f left (f ^ {- 1} (x) right) = x ), a (f ^ {- 1} ) domain összes (x ) számára

Ezzel a tulajdonsággal ellenőrizhetjük, hogy két függvény egymás inverz-e.

Gyakorlat ( PageIndex {13} )

Ellenőrizze, hogy a függvények inverz függvények-e. (f (x) = 4 x-3 ) és (g (x) = frac {x + 3} {4} ).

Válasz

(g (f (x)) = x ), és (f (g (x)) = x ), tehát inverzek.

Gyakorlat ( PageIndex {14} )

Ellenőrizze, hogy a függvények inverz függvények-e. (f (x) = 2 x + 6 ) és (g (x) = frac {x-6} {2} )

Válasz

(g (f (x)) = x, ) és (f (g (x)) = x, ) tehát inverzek.

Találtunk függvény inverzeket rendezett párok és grafikon alapján definiálva. Most megvizsgáljuk, hogyan lehet inverzet találni algebrai egyenlet segítségével. A módszer azt az elképzelést használja, hogy ha (f (x) ) egy-egy függvény rendezett párokkal ((x, y) ), akkor annak inverz függvénye (f ^ {- 1} (x ) ) a rendezett párok halmaza ((y, x) ).

Ha megfordítjuk az (x ) és (y ) függvényt, majd megoldjuk az (y ) értéket, akkor megkapjuk inverz függvény.

Példa ( PageIndex {8} ) Hogyan lehet megtalálni az egy az egyben függvény inverzét

Keresse meg a (f (x) = 4 x + 7 ) inverzét.

Megoldás:

1. lépés. Helyettesítse az (y () értéket az (f (x) kifejezéssel.Cserélje le az (f (x) ) elemet az (y ) kifejezésre. ( begin {aligned} f (x) & = 4 x + 7 y & = 4 x + 7 end {igazított} )
2. lépés: Cserélje meg a (x ) és (y ) változókat.Cserélje (x ) helyére (y ), majd (y ) helyére (x ). (x = 4y + 7 )
3. lépés: Oldja meg az (y ) függvényt.

Mindkét oldalból vonjon le (7 ).

Osztás (4 ) -vel.

(x-7 = 4 y )
( frac {x-7} {4} = y )
4. lépés: Helyettesítse a (z) (f ^ {- 1} (x) ) szót az (y) kifejezésre.Cserélje (y ) helyére (f ^ {- 1} (x) ). ( frac {x-7} {4} = f ^ {- 1} (x) )
5. lépés: Ellenőrizze, hogy a függvények inverzek-e.

(F ^ {- 1} (f (x)) = x megjelenítése

és (f balra (f ^ {- 1} (x) jobbra) = x )

( begin {aligned} f ^ {- 1} (f (x)) & stackrel {?} {=} x f ^ {- 1} (4x + 7) & stackrel {?} {= } x frac {(4x + 7) -7} {4} & stackrel {?} {=} x frac {4x} {4} & stackrel {?} {=} x x & = x f (f ^ {- 1} (x)) & stackrel {?} {=} x f balra ( frac {x-7} {4} jobbra) & stackrel {?} {=} x 4 left ( frac {x-7} {4} right) + 7 & stackrel {?} {=} x x-7 + 7 & stackrel {? } {=} x x & = x vége {igazítva} )
10.1.7. Táblázat

Gyakorlat ( PageIndex {15} )

Keresse meg a (f (x) = 5x-3 ) függvény inverzét.

Válasz

(f ^ {- 1} (x) = frac {x + 3} {5} )

Gyakorlat ( PageIndex {16} )

Keresse meg a (f (x) = 8 x + 5 ) függvény inverzét.

Válasz

(f ^ {- 1} (x) = frac {x-5} {8} )

Összefoglaljuk az alábbi lépéseket.

Hogyan lehet megtalálni az egy az egyben funkció inverzét

  1. Helyettesítse az (y () szót az (f (x) kifejezéssel.
  2. Cserélje ki a (x ) és (y ) változókat.
  3. Oldja meg az (y ) függvényt.
  4. A (z) (f ^ {- 1} (x) ) helyettesítse az (y) karaktert.
  5. Ellenőrizze, hogy a függvények inverzek-e.

Példa ( PageIndex {9} ) Hogyan lehet megtalálni az egy az egyben függvény inverzét

Keresse meg a (f (x) = sqrt [5] {2 x-3} ) inverzét.

Megoldás:

(f (x) = sqrt [5] {2 x-3} )

Helyettesítse az (y () értéket az (f (x) kifejezéssel.

(y = sqrt [5] {2 x-3} )

Cserélje ki a (x ) és (y ) változókat.

(x = sqrt [5] {2 y-3} )

Oldja meg az (y ) függvényt.

A (z) (f ^ {- 1} (x) ) helyettesítse az (y) karaktert.

(f ^ {- 1} (x) = frac {x ^ {5} +3} {2} )

Ellenőrizze, hogy a függvények inverzek-e.

( begin {tömb} {rr} {f ^ {- 1} (f (x)) stackrel {?} {=} x} és {f balra (f ^ {- 1} (x) jobbra ) stackrel {?} {=} x} {f ^ {- 1} ( sqrt [5] {2x-3}) stackrel {?} {=} x} és {f left ( frac {x ^ {5} +3} {2} right)} stackrel {?} {=} x { frac {( sqrt [5] {2x-3}) ^ {5} +3} {2} stackrel {?} {=} X} és { sqrt [5] {2 left ( frac {x ^ {5} +3} {2} right) -3} stackrel {?} {=} x} { frac {2x-3 + 3} {2} stackrel {?} {=} x} és { sqrt [5] {x ^ {5} + 3-3} stackrel {?} {=} x} { frac {2x} {2} stackrel {?} {=} x} és { sqrt [5] {x ^ {5}} stackrel {?} {= } x} {x = x} és {x = x} end {tömb} )

Gyakorlat ( PageIndex {17} )

Keresse meg a (f (x) = sqrt [5] {3 x-2} ) függvény inverzét.

Válasz

(f ^ {- 1} (x) = frac {x ^ {5} +2} {3} )

Gyakorlat ( PageIndex {18} )

Keresse meg a (f (x) = sqrt [4] {6 x-7} ) függvény inverzét.

Válasz

(f ^ {- 1} (x) = frac {x ^ {4} +7} {6} )

Kulcsfogalmak

  • A funkciók összetétele: A (z) (f ) és (g ) függvények összetétele írva (f∘g ), és a

    ((f circ g) (x) = f (g (x)) )

    A (f (g (x)) ) -et (f ) -nek olvashatjuk a (z) (x ) kifejezésből.
  • Vízszintes vonal teszt: Ha minden vízszintes vonal metszi a függvény grafikonját egy ponton belül, akkor ez egy az egyben funkció.
  • A megrendelt párok által definiált függvény inverze: Ha az (f (x) ) egy-egy függvény, amelynek rendezett párjai ((x, y) ) alakúak, akkor annak inverz függvénye (f ^ {- 1} (x) ) a rendezett párok halmaza ((y, x) ).
  • Inverz függvények: A (z) egy-egy függvény tartományában található minden (x ) (f ) és (f ^ {- 1} ) tartományban

    (f ^ {- 1} (f (x)) = x )
    (f balra (f ^ {- 1} (x) jobbra) = x )

  • Hogyan lehet megtalálni az egy az egyben funkció inverzét:
    1. Helyettesítse az (y () értéket az (f (x) kifejezéssel.
    2. Cserélje ki a (x ) és (y ) változókat.
    3. Oldja meg az (y ) függvényt.
    4. A (z) (f ^ {- 1} (x) ) helyettesítse az (y) karaktert.
    5. Ellenőrizze, hogy a függvények inverzek-e.

Szójegyzék

egy-egy funkció
A függvény egy az egyhez, ha a tartomány minden értékének pontosan egy eleme van a tartományban. A függvény minden rendezett párja esetén az egyes (y ) - értékek csak egy (x ) - értékkel párosulnak.

7.1: Összetett és inverz függvények keresése - matematika

Inverz függvények és # 8211
A matematikában azt mondják, hogy az a függvény egy másik inverz, b, ha a b kimenete megadja a b-nek adott bemeneti értéket. Ezenkívül ennek igaznak kell lennie a b tartomány tartományának (tartományának) minden elemére. Más szóval, feltételezve, hogy x és y konstansok, ha b (x) = y és a (y) = x, akkor az a függvényről azt mondjuk, hogy a b függvény inverze.

Példa a & # 8211 inverz függvényre
Tekintsük az a (x) = 5x + 2 és b (y) = (y-2) / 5 függvényeket. Itt a b függvény az a inverz függvénye. Ezt úgy láthatjuk, hogy értékeket illesztünk be a függvényekbe. Például, ha x értéke 1, akkor a kimenete a (1) = 5 (1) + 2 = 7. Ha ezt a kimenetet y függvényként használjuk a b függvényben, akkor b (7) = (7-2) / 5 = 1 értéket kapunk, amely a működéshez szükséges bemeneti érték a.

  • f és g egy-egy függvény. Az egy az egyben funkciók a tartományukban lévő összes értéket pontosan egy értékre képezik le a társtartományban (tartományban). Az egy az egyhez funkció példája: f (x) = x
  • F társtartománya (tartománya) g tartománya és fordítva

Jegyzet: Bizonyos függvények csak a tartományukban lévő meghatározott értékek számára invertálhatók. Ebben az esetben mind az inverz függvény tartománya, mind tartománya csak ezekre az értékekre korlátozódik.

Kompozit funkciók & # 8211
Az összetett függvény egy olyan függvény, amelynek bemenete egy másik függvény. Tehát, ha két függvényünk van A (x), amely a B halmazból a C halmazba elemeket térképez fel, és a D (x), amely a C halmazból az E halmazba térképez fel, akkor e két függvény összetétele, DoA, egy olyan függvény, amely B-től E-ig elemeket térképez le, azaz DoA = D (A (x)).
Vegyük például az A (x) = 5x + 2 és a B (x) = x + 1 függvényeket. Az összetett függvény AoB = A (B (x)) = 5 (x + 1) + 2.

  • Tekintve az összetett funkciót köd = f (g (x)) g társtartományának az f tartományának részhalmazának, azaz megfelelő vagy helytelen részhalmazának kell lennie
  • Az összetett függvények asszociatívak. Tekintve az összetett funkciót a o b o c a művelet sorrendje lényegtelen, azaz (a o b) o c = a o (b o c).
  • Az összetett függvények nem kommutatívak. Így AoB nem ugyanaz, mint Boa. Az A (x) = 5x + 2 és B (x) = x + 1 példa segítségével AoB = A (B (x)) = 5 (x + 1) + 2, miközben Boa = B (A (x)) = (5x + 2) + 1.

Figyelem olvasó! Don & rsquot ne hagyja abba a tanulást. Gyakorold a GATE vizsgát jóval a tényleges vizsga előtt, a témában rendelkezésre álló és átfogó vetélkedőkkel GATE teszt sorozat tanfolyam.


Kompozit funkciók

Az összetett függvény egy olyan funkció, amely akkor jön létre, amikor az egyik függvényt egy másik függvény bemeneti értékeként használják. Lényegében a belső függvény kimenete (a bemeneti értékként használt függvény) válik a külső függvény bemenetévé (az így kapott érték).

Az f (x) és g (x) függvények esetében, ha g (x) -t használunk f (x) bemeneteként, az összetett függvényt a következőképpen írjuk:

A & compfn szimbólum összetett függvényt jelöl - hasonlóan néz ki, mint a szorzási szimbólum, ⋅, de nem ugyanazt jelenti. (f & compfn g) (x) ugyanaz, mint f (g (x)).

(f & compfn g) (x) nem ugyanaz, mint (g & compfn f) (x). Az (g & compfn f) (x) ugyanaz, mint a g (f (x)), amely gyakran különbözik az f (g (x)) -től.

Összetett függvényekkel ellenőrizheti, hogy két függvény inverz-e egymásnak, mert követik a szabályt:

Megtalálható két függvény együttese, ha a külső függvény minden egyes x-jét lecseréli a belső függvény (a bemenet) egyenletére.

Adva: f (x) = 4x 2 + 3 g (x) = 2x + 1

Csakúgy, mint az inverz függvényeknél, az összetett függvényekhez szükség szerint tartományi korlátozásokat kell alkalmaznia. Két f (x) és g (x) függvény együttesének be kell tartania az f (x) és g (x) tartományi korlátozásokat. A fenti példában mindkét függvénynek minden valós szám tartománya volt, így összetett függvényeiknek sem voltak tartományi korlátozásai.

Nézzünk meg egy példát, ahol domain korlátozások érvényesek.

Bár g (x) = x 2 tartománya az összes valós szám tartománya, tartománya [0, & végtelen]. Ezért az (f & compfn g) (x) és (g & compfn f) (x) összetett függvény doménkorlátozása [0, & végtelen].


MAT 112 Ősi és kortárs matematika

Két funkciót kombinálva új funkciót kapunk a függvényösszetétel használatával. Két függvényt adva (f ) és (g ), létrehozunk egy új függvényt úgy, hogy az (f ) tartományban lévő (a ) kép (g (f (a)) text <.> ) A (g (f (a)) ) kiszámításához először alkalmazzuk a (z) (f ) elemet a (z (f (a) text <,> ) meghatározására, majd a (z) az eredmény. Ez csak akkor működik, ha (f (a) ) a (g text <.> ) Tartományban van

7.3.1. Meghatározás

Legyen (f kettőspont A -ból B szövegbe <,> ) és legyen (g kettőspont B-ból C-be szöveg .> ) A (g circ f text <,> ) a (g circ f kettőspont A -tól C-ig ) függvényt definiálta

A (z) (g circ f ) szöveget "a (függvények) (g ) és (f text <.> ) Összetettjeként olvassuk". ((G circ f) (x) ) „a (z) (g ) és (f ) a ((x ) összetettjeként” vagy „ (g ) a (z) (x text <.> ) fájlból (f)

Ellenőrző pont 7.3.2. Az összetett függvény meghatározása.

Tompíthatjuk a (z) (f ) és (g ) tartomány és kódtartomány feltételeit azzal, hogy csak azt írjuk elő, hogy az (f ) kodomain a (g text <.> Tartomány tartományának részhalmaza. )

A 7.3.3 ábra videójában motiváljuk a függvények összetételét és példákat adunk.

Az összetett függvények értékelése nem nehezebb, mint a függvények értékelése.

7.3.4. Példa Két funkció együttesének értékelése.

Adja meg (f: <1,2,3,4,5 > - Z ) értékét (f (x) = 3 cdot x ) és (g: Z to Z ) adja meg (g (x) = x + 2 text <.> )

Legyen (h: = g circ f ) a (f ) és (g text <.> ) Összetettje. A (g circ f ) tartománya a (f ) nevezetesen ( <1,2,3,4,5 > ), és a (z) g (circ f ) kódtartománya ( Z ), amely a (g text < ,> ) röviden:

A (h ) értéket több egész számban értékeljük.

Először kiszámoljuk a (h (5) text <.> ) Definícióját a (h ) mint (f ) és (g ) összetettjeként

A (g (f (5)) ) értéket belülről kifelé értékeljük. Először a (f ) definícióját használjuk a (z (f (5) = 3 cdot 5 = 15 text <.> ) Megkeresésére. Ezután a számítás eredményeként értékeljük a . Kapunk

7.3.5. Példa A ( mathrm) és ( mathrm).

A ( mathrm. Függvényeket használjuk kettőspont N I-ig ) és ( mathrm kettőspont I-től G-ig) a 7.1.5. és 7.1.7.

A tanuló osztályzatának megtalálásához először meg kell keresnünk a tanuló azonosító számát a 7.1.4. Ábra táblázatában, majd az azonosító számmal meg kell keresnünk a 7.1.4. Ábra táblázatának osztályzatát.

Tehát, hogy megtaláljuk Alice osztályzatát, először a 7.1.4. Ábrán keressük meg az azonosító számát, és azt találjuk, hogy 1001. A 7.1.6. Ábrából azt kapjuk, hogy a 1001 azonosítószámú tanuló osztályzata (B text <. > ) Így Alice osztályzata a MAT 112-ben egy (B text <.> )

Ezt a folyamatot a kompozíció függvényében fogalmazzuk meg

a hallgató nevének megadása a hallgató érdemjegyét adja. A ( mathrm circ text) a tanulónevek halmaza és a ( mathrm circ text) a (G = ) évfolyamok. Kapunk

A 7.3.9. Ábrán példát adunk két függvény együttesére, amelyeket egy diagram ad meg.

7.3.6. Ellenőrző pont. Értékeljen egy összetett függvényt.
7.3.7. Példa Két algebrai függvény összetétele.

Adja meg (s: N - N ) értékét (s (n): = n ^ 2 ), mint a 7.1.10. Példában, és hagyja, hogy (m: N - Z_5 ) (m (a): = a fmod 5 ) adja meg, a 7.1.11. példa szerint.

Az (m circ s ) összetett függvény ( N ) - ( Z_5 text <,> ) függvény, és megvan, hogy ((m circ s) (n) = m left (s (n) right) = m (n ^ 2) = n ^ 2 fmod 5 ) mindegyikhez (n in N text <.> ). Figyelje meg, hogy a ( m circ s ) megegyezik a 7.1.9. ábra (g ) függvényének algebrai szabályával. Azonban (m circ s neq g ), mivel a (m circ s ) tartománya ( N ), a (g ) tartománya pedig ( Z_5 text <. > )

A függvények sorrendje számít, vagyis vannak olyan függvények, amelyek (f ) és (g ) olyanok, hogy (g circ f neq f circ g text <.> )

7.3.8. Példa Az összetétel sorrendje számít.

Megmutatjuk, hogy a funkció összetételének sorrendje számít. Legyen (f: N to N ) (f (n): = 2 cdot n ) és (g: N to N ) adja meg (g (m) : = m ^ 2 text <.> ) A (z) (f ) és (g ) domainek lehetővé teszik a kompozitok (g circ f ) és (f circ g text < .> ) Annak bemutatásához, hogy (f circ g ) nem egyenlő (g circ f ), csak egy (b in N ) -et kell keresnünk ((g circ f ) (b) ne (f circ g) (b) text <.> ) (b = 3 )


3 válasz 3

$ f, g $ a kérdésben definiált függvények.

vagy ezzel egyenértékűen az inverz függvény definíciója szerint $ f ^ <-1> $

vagy ezzel egyenértékűen a $ g ^ <-1> $ inverz függvény meghatározása alapján

$ (A) $ és $ (B) $ összevonása után megkapjuk

Ennélfogva definíció szerint az $ (g circ f) ^ <-1> $ inverz függvény $ c $ értékű értéke

$ (1) $ és $ (3) $ alapján arra a következtetésre jutunk, hogy ezekhez a $ f, g $ függvényekhez és azok inverzeihez $ f ^ <-1>, g ^ <-1> $ a következő identitás érvényes:

Amit eddig tett, az az, hogy kiszámolja a $ f ^ <-1> $ és $ g ^ <-1> $, valamint a $ f ^ <-1> circ g ^ <-1> $ értékeket. Most megpróbálja megkeresni a (z) $ (g circ f) ^ <-1> $ értéket, és hasonlítsa össze ezt a számítással (a képlet ellenőrzése érdekében).

Tehát rájöttél, hogy $ (g circ f) (a) = frac <2a + 1> <3> $. Hogyan találjuk ki a $ (g circ f) ^ <-1> $ értéket?

Pontosan ugyanúgy, ahogy kitaláljuk bármely függvény inverzét. Ha valaki megállított az utcán, fegyvert mutatott rád és azt mondta

"Itt van ez a függvényem: $ h (a) = frac <2a + 1> <3>, $ Szükségem van a képletre a $ h ^ <-1> $ értékre. Adja meg nekem, különben lelövöm ! "

akkor nem kell tudnia ahol ez a függvény származik, csak annyit kell tennie, hogy kitalálja az inverz: $ begin b & amp = frac <2a + 1> <3> 3b & amp = 2a + 1 3b-1 & amp = 2a & amp vdots end$ stb. Ha kész, és képlete van a $ h ^ <-1> (a) = (g circ f) ^ <-1> (a) $ értékre, összehasonlíthatja azt a $ f ^ <-1> circ g ^ <-1> $ és ellenőrizze, hogy ugyanazt a funkciót kapta-e.


A domainek korlátozása inverzek keresésére

A tartomány korlátozása azért fontos az exponensek és logaritmusok inverz függvényei szempontjából, mert néha egyedi inverzeket kell találnunk.

Tanulási célok

Határozza meg a függvények inverzjeit tartományaik korlátozásával

Key Takeaways

Főbb pontok

  • [latex] f ^ <-1> (x) [/ latex] a [latex] f (x) [/ latex] inverz függvényeként definiálva, ha következetesen megfordítja a [latex] f (x) [/ latex] folyamat.
  • Informálisan egy [latex] f [/ latex] függvény korlátozása annak tartományának kivágása.
  • [latex] f (x) =A ^ <2> [/ latex] minden tartományi korlátozás nélkül nem rendelkezik inverz függvénnyel, mivel kudarcot vall a vízszintes vonalteszten.

Kulcsszavak

Inverz függvények

[latex] f ^ <-1> (x) [/ latex] a [latex] f (x) [/ latex] inverz függvényeként definiálva, ha következetesen megfordítja a [latex] f (x) [/ latex] folyamat. Vagyis, ha a [latex] f (x) [/ latex] a [latex] a [/ latex] -ből [latex] b [/ latex] válik, akkor a [latex] f ^ <-1> x [/ latex] fordítsa a [latex] b [/ latex] -ből [latex] a [/ latex] -t. Tömöbben és formailag: a [latex] f ^ <-1> x [/ latex] a [latex] f (x) [/ latex] inverz függvénye, ha [latex] f (^ <-1> (x)) = x [/ latex].

Inverz függvények & # 8217 tartomány és tartomány: Ha a [latex] f [/ latex] az [latex] X [/ latex] -et [latex] Y [/ latex] -re térképezi fel, akkor a [latex] f ^ <-1> [/ latex] leképezi a [latex] Y [/ latexet] ] vissza a [latex] X [/ latex] -re.

Domain korlátozások: Parabola

Informálisan a funkció korlátozása annak tartományának kivágása. Emlékezz arra:

Ha a [latex] f [/ latex] az [latex] X [/ latex] -et [latex] Y [/ latex] -re térképezi fel, akkor a [latex] f ^ <-1> [/ latex] a [latex] Y [/ latexet térképezi ] vissza a [latex] X [/ latex] -re. Ez nem igaz a [latex] f (x) = x ^ 2 [/ latex] függvényre.

Minden [domain] korlátozás nélkül a [latex] f (x) = x ^ 2 [/ latex] nem rendelkezik inverz függvénnyel, mivel kudarcot vall a vízszintes vonalteszten. De ha a tartományt [latex] x & gt 0 [/ latex] értékre korlátozzuk, akkor azt találjuk, hogy az megfelel a vízszintes vonal tesztjének, és ezért inverz függvénye van. Az alábbiakban látható a parabola és annak & # 8220inverse. & # 8221 grafikonja. Vegye figyelembe, hogy a parabola nem rendelkezik & # 8220true & # 8221 inverzsel, mert az eredeti függvény sikertelen a vízszintes vonalteszten, és korlátozott tartományúnak kell lennie ahhoz, hogy inverz legyen.

A vízszintes vonal tesztjének sikertelensége: Egy parabola grafikonja az [latex] y = x ^ 2 [/ latex] egyenlettel, az U-alakú görbe megnyílik. Ez a függvény sikertelen a vízszintes vonalteszten, ezért nincs inverze. Az inverz egyenlet, [latex] y = sqrtA [/ latex] (más grafikon) csak a parabola & # 8217s tartomány pozitív bemeneti értékeit tartalmazza. Ha azonban a tartományt [latex] x & gt0 [/ latex] értékre korlátozzuk, akkor azt találjuk, hogy az átmegy a vízszintes vonal tesztjén és meg fog egyezni az inverz függvénnyel.

Domain korlátozás: Exponenciális és logaritmikus függvények

A tartomány korlátozása azért fontos az exponensek és logaritmusok inverz függvényei szempontjából, mert néha egyedi inverzeket kell találnunk. Az exponenciális függvény inverze logaritmikus függvény, a logaritmikus függvény inverze pedig exponenciális függvény.

1. példa

A [latex] x = 0 [/ latex] van a [latex] függvény tartományában f (x) = log (x) [/ latex]? Ha igen, mennyi a függvény értéke, amikor [latex] x = 0 [/ latex]? Ellenőrizze az eredményt.

Nem, a függvénynek nincs meghatározott értéke a [latex] x = 0 [/ latex] értékre. Tételezzük fel, hogy a [latex] x = 0 [/ latex] a [latex] f (x) = log (x) [/ latex] függvény tartományában van. Ezután van néhány olyan szám [latex] n [/ latex], amely [latex] n = log (0) [/ latex]. Az átírás exponenciális egyenletként: [latex] 10n = 0 [/ latex], ami lehetetlen, mivel ilyen valós szám [latex] n [/ latex] nem létezik. Ezért a [latex] x = 0 [/ latex] nincs a [latex] f (x) = log (x) [/ latex] függvény tartományában.


Összetett és inverz függvények keresése

Ebben a fejezetben két új típusú függvényt mutatunk be, az exponenciális és a logaritmikus függvényeket. Ezeket a funkciókat széles körben használják az üzleti életben és a tudományokban, amint látni fogjuk.

Keresse meg és értékelje az összetett funkciókat

Mielőtt bemutatnánk a függvényeket, meg kell vizsgálnunk egy másik műveletet az úgynevezett függvényekkel fogalmazás. Összetételben az egyik függvény kimenete egy második függvény bemenete. Az f funkciókhoz

a kompozíció f ∘ g

és az (f ∘ g) (x) = f (g (x)).

Kompozíció elkészítéséhez az első függvény kimenete, g (x),

a második függvény bemenetévé válik, f, és ezért biztosnak kell lennünk abban, hogy a domain domain része f.

A funkciók összetétele f és g van írva f · g

Valójában a kompozíciót használtuk anélkül, hogy sokszor használtuk volna a jelölést. Amikor fordításokkal ábrázoltuk a másodfokú függvényeket, akkor függvényeket komponáltunk. Például, ha először g (x) = x 2 -et ábrázoltunk

mint parabola, majd függőlegesen négy egységet lefelé tolva, az (f ∘ g) (x) = f (g (x))

A következő példa bemutatja, hogy (f ∘ g) (x),

általában különböző kimeneteket eredményeznek.

F (x) = 4 x - 5 függvényekhez

Használja az (f ∘ g) (x) definícióját.

| | <: valign = ”top”> | | | <: valign = ”top”> | | | <: valign = ”top”> | Terjeszteni. | | <: valign = ”top”> | Egyszerűsítse. | | <: valign = ”top”>

Használja az (f ∘ g) (x) definícióját.

| | <: valign = ”top”> | | | <: valign = ”top”> | | | <: valign = ”top”> | Terjeszteni. | | <: valign = ”top”> | Egyszerűsítse. | | <: valign = ”top”>

Figyelje meg az eredmény különbségét a ⓐ részben és a ⓑ részben.

eltér (f ∘ g) (x) -től.

Ⓐ részben elvégeztük a függvények összetételét. Most részben: nem mi komponáljuk, hanem szorozzuk őket. * * *

Használja az (f · g) (x) definícióját. (f · g) (x) = f (x) · g (x) Helyettesítse az f (x) = 4 x - 5 és g (x) = 2 x + 3 értékeket. (f · g) (x) = (4 x - 5) · (2 ​​x + 3) Szorozzuk meg. (f · g) (x) = 8 x 2 + 2 x - 15

Az f (x) = 3 x - 2 függvényekhez

F (x) = 4 x - 3 függvényekhez,

A következő példában egy kompozíciót értékelünk egy adott értékre.

F (x) = x 2 - 4 függvényekhez,

Használja az (f ∘ g) (−3) definícióját.

| | <: valign = ”top”> | | | <: valign = ”top”> | Egyszerűsítse. | | <: valign = ”top”> | | | <: valign = ”top”> | Egyszerűsítse. | | <: valign = ”top”>

Használja a (g ∘ f) (−1) definícióját.

| | <: valign = ”top”> | | | <: valign = ”top”> | Egyszerűsítse. | | <: valign = ”top”> | | | <: valign = ”top”> | Egyszerűsítse. | | <: valign = ”top”>

Használja az (f ∘ f) (2) definícióját.

| | <: valign = ”top”> | | | <: valign = ”top”> | Egyszerűsítse. | | <: valign = ”top”> | | | <: valign = ”top”> | Egyszerűsítse. | | <: valign = ”top”>

F (x) = x 2 - 9 függvényekhez,

Az f (x) = x 2 + 1 függvényekhez

Határozza meg, hogy egy funkció egy az egyben-e

When we first introduced functions, we said a funkció is a relation that assigns to each element in its domain exactly one element in the range. For each ordered pair in the relation, each x-value is matched with only one y-érték.

We used the birthday example to help us understand the definition. Every person has a birthday, but no one has two birthdays and it is okay for two people to share a birthday. Since each person has exactly one birthday, that relation is a function.

A function is one-to-one if each value in the range has exactly one element in the domain. For each ordered pair in the function, each y-value is matched with only one x-érték.

Our example of the birthday relation is not a one-to-one function. Two people can share the same birthday. The range value August 2 is the birthday of Liz and June, and so one range value has two domain values. Therefore, the function is not one-to-one.

A function is one-to-one if each value in the range corresponds to one element in the domain. For each ordered pair in the function, each y-value is matched with only one x-érték. There are no repeated y-values.

For each set of ordered pairs, determine if it represents a function and, if so, if the function is one-to-one.

Minden egyes x-value is matched with only one y-érték. So this relation is a function.

But each y-value is not paired with only one x-value, ( −3 , 27 )

for example. So this function is not one-to-one.

Minden egyes x-value is matched with only one y-érték. So this relation is a function.

Since each y-value is paired with only one x-value, this function is one-to-one.

For each set of ordered pairs, determine if it represents a function and if so, is the function one-to-one.

For each set of ordered pairs, determine if it represents a function and if so, is the function one-to-one.

To help us determine whether a relation is a function, we use the függőleges vonal teszt. A set of points in a rectangular coordinate system is the graph of a function if every vertical line intersects the graph in at most one point. Also, if any vertical line intersects the graph in more than one point, the graph does not represent a function.

The vertical line is representing an x-value and we check that it intersects the graph in only one y-érték. Then it is a function.

To check if a function is one-to-one, we use a similar process. We use a horizontal line and check that each horizontal line intersects the graph in only one point. The horizontal line is representing a y-value and we check that it intersects the graph in only one x-érték. If every horizontal line intersects the graph of a function in at most one point, it is a one-to-one function. This is the horizontal line test.

If every horizontal line intersects the graph of a function in at most one point, it is a one-to-one function.

We can test whether a graph of a relation is a function by using the vertical line test. We can then tell if the function is one-to-one by applying the horizontal line test.

Determine ⓐ whether each graph is the graph of a function and, if so, ⓑ whether it is one-to-one.

Since any vertical line intersects the graph in at most one point, the graph is the graph of a function. Since any horizontal line intersects the graph in at most one point, the graph is the graph of a one-to-one function.

Since any vertical line intersects the graph in at most one point, the graph is the graph of a function. The horizontal line shown on the graph intersects it in two points. This graph does not represent a one-to-one function.

Determine ⓐ whether each graph is the graph of a function and, if so, ⓑ whether it is one-to-one.

ⓐ Not a function ⓑ One-to-one function

Determine ⓐ whether each graph is the graph of a function and, if so, ⓑ whether it is one-to-one.

ⓐ Function not one-to-one ⓑ One-to-one function

Find the Inverse of a Function

Let’s look at a one-to one function, f

, represented by the ordered pairs < ( 0 , 5 ) , ( 1 , 6 ) , ( 2 , 7 ) , ( 3 , 8 ) >.

-érték. To ‘undo’ the addition of 5, we subtract 5 from each y

-value and get back to the original x

-érték. We can call this “taking the inverse of f

” and name the function f −1 .

Notice that that the ordered pairs of f

-values reversed. The domain of f

is a one-to-one function whose ordered pairs are of the form ( x , y ) ,

then its inverse function f −1 ( x )

is the set of ordered pairs ( y , x ) .

In the next example we will find the inverse of a function defined by ordered pairs.

Find the inverse of the function < ( 0 , 3 ) , ( 1 , 5 ) , ( 2 , 7 ) , ( 3 , 9 ) >.

Determine the domain and range of the inverse function.

This function is one-to-one since every x

-value is paired with exactly one y

To find the inverse we reverse the x

-values in the ordered pairs of the function.* * *

Function < ( 0 , 3 ) , ( 1 , 5 ) , ( 2 , 7 ) , ( 3 , 9 ) >Inverse Function < ( 3 , 0 ) , ( 5 , 1 ) , ( 7 , 2 ) , ( 9 , 3 ) >Domain of Inverse Function < 3 , 5 , 7 , 9 >Range of Inverse Function


10.1 Finding Composite and Inverse Functions

In this chapter, we will introduce two new types of functions, exponential functions and logarithmic functions. These functions are used extensively in business and the sciences as we will see.

Find and Evaluate Composite Functions

Before we introduce the functions, we need to look at another operation on functions called composition . In composition, the output of one function is the input of a second function. For functions f f and g , g , the composition is written f ∘ g f ∘ g and is defined by ( f ∘ g ) ( x ) = f ( g ( x ) ) . ( f ∘ g ) ( x ) = f ( g ( x ) ) .

Composition of Functions

The composition of functions f és g is written f ∘ g f ∘ g and is defined by

We have actually used composition without using the notation many times before. When we graphed quadratic functions using translations, we were composing functions. For example, if we first graphed g ( x ) = x 2 g ( x ) = x 2 as a parabola and then shifted it down vertically four units, we were using the composition defined by ( f ∘ g ) ( x ) = f ( g ( x ) ) ( f ∘ g ) ( x ) = f ( g ( x ) ) where f ( x ) = x − 4 . f ( x ) = x − 4 .

10.1. Példa

Megoldás

Notice the difference in the result in part ⓐ and part ⓑ .

In the next example we will evaluate a composition for a specific value.

10.2. Példa

Megoldás

Determine Whether a Function is One-to-One

When we first introduced functions, we said a function is a relation that assigns to each element in its domain exactly one element in the range. For each ordered pair in the relation, each x-value is matched with only one y-érték.

We used the birthday example to help us understand the definition. Every person has a birthday, but no one has two birthdays and it is okay for two people to share a birthday. Since each person has exactly one birthday, that relation is a function.

A function is one-to-one if each value in the range has exactly one element in the domain. For each ordered pair in the function, each y-value is matched with only one x-érték.

Our example of the birthday relation is not a one-to-one function. Two people can share the same birthday. The range value August 2 is the birthday of Liz and June, and so one range value has two domain values. Therefore, the function is not one-to-one.

One-to-One Function

A function is one-to-one if each value in the range corresponds to one element in the domain. For each ordered pair in the function, each y-value is matched with only one x-érték. There are no repeated y-values.

10.3. Példa

For each set of ordered pairs, determine if it represents a function and, if so, if the function is one-to-one.

Megoldás

Minden egyes x-value is matched with only one y-érték. So this relation is a function.

Minden egyes x-value is matched with only one y-érték. So this relation is a function.

Since each y-value is paired with only one x-value, this function is one-to-one.

For each set of ordered pairs, determine if it represents a function and if so, is the function one-to-one.

For each set of ordered pairs, determine if it represents a function and if so, is the function one-to-one.

To help us determine whether a relation is a function, we use the vertical line test . A set of points in a rectangular coordinate system is the graph of a function if every vertical line intersects the graph in at most one point. Also, if any vertical line intersects the graph in more than one point, the graph does not represent a function.

The vertical line is representing an x-value and we check that it intersects the graph in only one y-érték. Then it is a function.

To check if a function is one-to-one, we use a similar process. We use a horizontal line and check that each horizontal line intersects the graph in only one point. The horizontal line is representing a y-value and we check that it intersects the graph in only one x-érték. If every horizontal line intersects the graph of a function in at most one point, it is a one-to-one function. This is the horizontal line test .

Horizontal Line Test

If every horizontal line intersects the graph of a function in at most one point, it is a one-to-one function.

We can test whether a graph of a relation is a function by using the vertical line test. We can then tell if the function is one-to-one by applying the horizontal line test.

10.4. Példa

Determine ⓐ whether each graph is the graph of a function and, if so, ⓑ whether it is one-to-one.

Megoldás

Since any vertical line intersects the graph in at most one point, the graph is the graph of a function. Since any horizontal line intersects the graph in at most one point, the graph is the graph of a one-to-one function.

Since any vertical line intersects the graph in at most one point, the graph is the graph of a function. The horizontal line shown on the graph intersects it in two points. This graph does not represent a one-to-one function.

Determine whether each graph is the graph of a function and, if so, whether it is one-to-one.

Determine whether each graph is the graph of a function and, if so, whether it is one-to-one.

Find the Inverse of a Function

Inverse of a Function Defined by Ordered Pairs

In the next example we will find the inverse of a function defined by ordered pairs.

10.5. Példa

Megoldás

10.6. Példa

Graph, on the same coordinate system, the inverse of the one-to one function shown.

Megoldás

We can use points on the graph to find points on the inverse graph. Some points on the graph are: ( −5 , −3 ) , ( −3 , −1 ) , ( −1 , 0 ) , ( 0 , 2 ) , ( 3 , 4 ) ( −5 , −3 ) , ( −3 , −1 ) , ( −1 , 0 ) , ( 0 , 2 ) , ( 3 , 4 ) .

So, the inverse function will contain the points: ( −3 , −5 ) , ( −1 , −3 ) , ( 0 , −1 ) , ( 2 , 0 ) , ( 4 , 3 ) ( −3 , −5 ) , ( −1 , −3 ) , ( 0 , −1 ) , ( 2 , 0 ) , ( 4 , 3 ) .

Notice how the graph of the original function and the graph of the inverse functions are mirror images through the line y = x . y = x .

Graph, on the same coordinate system, the inverse of the one-to one function.

Graph, on the same coordinate system, the inverse of the one-to one function.

When we began our discussion of an inverse function, we talked about how the inverse function ‘undoes’ what the original function did to a value in its domain in order to get back to the original x-érték.

Inverse Functions

We can use this property to verify that two functions are inverses of each other.

10.7. Példa

Megoldás

The functions are inverses of each other if g ( f ( x ) ) = x g ( f ( x ) ) = x and f ( g ( x ) ) = x . f ( g ( x ) ) = x .

Verify that the functions are inverse functions.

Verify that the functions are inverse functions.

We have found inverses of function defined by ordered pairs and from a graph. We will now look at how to find an inverse using an algebraic equation. The method uses the idea that if f ( x ) f ( x ) is a one-to-one function with ordered pairs ( x , y ) , ( x , y ) , then its inverse function f −1 ( x ) f −1 ( x ) is the set of ordered pairs ( y , x ) . ( y , x ) .

If we reverse the x és y in the function and then solve for y, we get our inverse function .

10.8. Példa

How to Find the inverse of a One-to-One Function

Find the inverse of f ( x ) = 4 x + 7 . f ( x ) = 4 x + 7 .

Megoldás

Find the inverse of the function f ( x ) = 5 x − 3 . f ( x ) = 5 x − 3 .

Find the inverse of the function f ( x ) = 8 x + 5 . f ( x ) = 8 x + 5 .

We summarize the steps below.

Hogyan kell

How to Find the inverse of a One-to-One Function

10.9. Példa

How to Find the Inverse of a One-to-One Function

Find the inverse of f ( x ) = 2 x − 3 5 . f ( x ) = 2 x − 3 5 .

Megoldás

Find the inverse of the function f ( x ) = 3 x − 2 5 . f ( x ) = 3 x − 2 5 .

Find the inverse of the function f ( x ) = 6 x − 7 4 . f ( x ) = 6 x − 7 4 .

10.1. Szakasz Gyakorlatok

Gyakorlat teszi a mestert

Find and Evaluate Composite Functions

In the following exercises, find the values described.

Determine Whether a Function is One-to-One

In the following exercises, determine if the set of ordered pairs represents a function and if so, is the function one-to-one.

In the following exercises, determine whether each graph is the graph of a function and if so, is it one-to-one.

In the following exercises, find the inverse of each function. Determine the domain and range of the inverse function.

In the following exercises, graph, on the same coordinate system, the inverse of the one-to-one function shown.

In the following exercises, determine whether or not the given functions are inverses.

In the following exercises, find the inverse of each function.

Gyakorlatok írása

Explain how the graph of the inverse of a function is related to the graph of the function.

Explain how to find the inverse of a function from its equation. Use an example to demonstrate the steps.

Önellenőrzés

Ⓐ A gyakorlatok elvégzése után használja ezt az ellenőrzőlistát, hogy értékelje e szakasz céljainak elsajátítását.

Ⓑ Ha a legtöbb ellenőrzése:

…confidently. Gratulálunk! You have achieved the objectives in this section. Reflect on the study skills you used so that you can continue to use them. What did you do to become confident of your ability to do these things? Pontosíts.

…with some help. This must be addressed quickly because topics you do not master become potholes in your road to success. In math every topic builds upon previous work. It is important to make sure you have a strong foundation before you move on. Whom can you ask for help?Your fellow classmates and instructor are good resources. Is there a place on campus where math tutors are available? Can your study skills be improved?

…no—I don’t get it! This is a warning sign and you must not ignore it. You should get help right away or you will quickly be overwhelmed. See your instructor as soon as you can to discuss your situation. Together you can come up with a plan to get you the help you need.

Amazon munkatársként minősített vásárlásokból keresünk.

Idézni, megosztani vagy módosítani szeretné ezt a könyvet? Ez a könyv a Creative Commons Nevezd meg! 4.0 licenc, és meg kell adnod az OpenStax-ot.

    Ha a könyvet részben vagy egészben nyomtatott formában terjeszti, akkor minden fizikai oldalon fel kell tüntetnie a következő hozzárendelést:

  • Használja az alábbi információkat idézetek előállításához. Javasoljuk az ehhez hasonló idézőeszköz használatát.
    • Szerzők: Lynn Marecek, Andrea Honeycutt Mathis
    • Kiadó / weboldal: OpenStax
    • Könyv címe: Intermediate Algebra 2e
    • Megjelenés dátuma: 2020. május 6
    • Helyszín: Houston, Texas
    • Könyv URL-je: https://openstax.org/books/intermediate-algebra-2e/pages/1-introduction
    • Section URL: https://openstax.org/books/intermediate-algebra-2e/pages/10-1-finding-composite-and-inverse-functions

    © 2021. január 21. OpenStax. Az OpenStax által készített tankönyvtartalom Creative Commons Attribution License 4.0 licenc alatt licencelt. Az OpenStax név, az OpenStax logó, az OpenStax könyvborítók, az OpenStax CNX név és az OpenStax CNX logó nem tartozik a Creative Commons licenc hatálya alá, és a Rice University előzetes és kifejezett írásbeli beleegyezése nélkül nem reprodukálhatók.


    Trigonometric Functions and Their Inverses

    In other sections, you learned that for a function (f(f^<&minus1>(x))=x) for all values of (x) for which (f^<&minus1>(x)) is defined. If this property is applied to the trigonometric functions, the following equations will be true whenever they are defined:

    As well, you learned that (f^ <&minus1>(f(x))=x) for all values of (x) for which (f(x)) is defined. If this property is applied to the trigonometric functions, the following equations that deal with finding an inverse trig function of a trig function, will only be true for values of (x) within the restricted domains.

    These equations are better known as composite functions. However, it is not necessary to only have a function and its inverse acting on each other. In fact, it is possible to have composite function that are composed of one trigonometric function in conjunction with another different trigonometric function. The composite functions will become algebraic functions and will not display any trigonometry. Let&rsquos investigate this phenomenon.

    When solving these types of problems, start with the function that is composed inside of the other and work your way out. Use the following problems as a guideline.

    We know that (sin^<&minus1>dfrac><2>=dfrac<4>), within the defined restricted domain. Then, we need to find (sin dfrac<4>), which is (dfrac><2>). So, the above properties allow for a short cut. (sinleft(sin^<&minus1>dfrac><2> ight)=dfrac><2>), think of it like the sine and sine inverse cancel each other out and all that is left is the (dfrac><2>).

    2. Without using technology, find the exact value of each of the following:

    (cosleft( an^<&minus1>sqrt<3> ight): First find ( an^<&minus1>sqrt<3>), which is (dfrac<3>). Then find (cosdfrac<3>). Your final answer is (dfrac<1><2>). Therefore, (cosleft( an^<&minus1>sqrt<3> ight)=dfrac<1><2>).

    Earlier, you were asked to solve (sin^<&minus1>left(cosleft(dfrac<3 pi><2> ight) ight)).

    To solve this problem: (sin^<&minus1>left(cosleft(dfrac<3 pi><2> ight) ight)), you can work outward.

    Find the exact value of (cos^<&minus1>dfrac><2>), without a calculator, over its restricted domain.


    Composition of Functions

    Two functions $f: A ightarrow B$ and $g: B ightarrow C$ can be composed to give a composition $g o f$. This is a function from A to C defined by $(gof)(x) = g(f(x))$

    Példa

    Let $f(x) = x + 2$ and $g(x) = 2x + 1$, find $( f o g)(x)$ and $( g o f)(x)$.

    Megoldás

    $(f o g)(x) = f (g(x)) = f(2x + 1) = 2x + 1 + 2 = 2x + 3$

    $(g o f)(x) = g (f(x)) = g(x + 2) = 2 (x+2) + 1 = 2x + 5$

    Some Facts about Composition

    If f and g are one-to-one then the function $(g o f)$ is also one-to-one.

    If f and g are onto then the function $(g o f)$ is also onto.

    Composition always holds associative property but does not hold commutative property.


    Nézd meg a videót: Matematika 1. 0807. Összetett függvény határozatlan integrálja 3. (December 2021).