Cikkek

4.2: Rendszerek megoldása helyettesítéssel


Ebben a szakaszban bemutatunk egy algebrai technikát két egyenlet rendszereinek megoldására két ismeretlenben, amit szubsztitúciós módszernek nevezünk. Először oldja meg bármelyik változó egyik egyenletét, majd cserélje le az eredményt a másik egyenletre. Az eredmény egyetlen változó egyenlete. Oldja meg ezt az egyenletet, majd cserélje le az eredményt a többi egyenletre, hogy megtalálja a fennmaradó ismeretlen változót.

Példa ( PageIndex {1} )

Oldja meg a következő egyenletrendszert:

[2x-5 y = -8 label {Eq4.2.1} ]

[y = 3x-1 label {Eq4.2.2} ]

Megoldás

A ref {Eq4.2.2} egyenlet már megoldott (y ). Helyettesítse a ref {Eq4.2.2} egyenletet a ref {Eq4.2.1} egyenletbe. Ez azt jelenti, hogy (3x − 1 ) helyett (y ) lépünk a ref {Eq4.2.1} egyenletben.

[ begin {aligned} 2x-5y & = -8 quad { color {Red} text {Equation}} ref {Eq4.2.1} 2x-5 ({ color {Red} 3x-1 }) & = -8 quad { color {Red} text {Substitute} 3x-1 text {for} y text {in}} ref {Eq4.2.1} end {aligned} nonumber ]

Most oldja meg a (x ) függvényt.

[ begin {aligned} 2x-15x + 5 & = -8 quad color {Red} text {Distribute} -5 -13x + 5 & = -8 quad color {Red} text { Egyszerűsítse. } -13x & = -13 quad color {Red} text {Subtract} 5 text {mindkét oldalról,} x & = 1 quad color {Red} text {Ossza fel mindkét oldalt } -13 end {igazítva} nonumber ]

Amint azt a Solving Systems by Graphing-ben láthattuk, a rendszer megoldása a két egyenlet metszéspontja, amelyet a rendszer egyenletei képviselnek. Ez azt jelenti, hogy a (x = 1 ) választ bármelyik egyenletbe helyettesíthetjük, hogy megtaláljuk az (y ) megfelelő értékét. Úgy döntünk, hogy (1 ) helyett (x ) szerepel a ref {Eq4.2.2} egyenletben, majd megoldjuk az (y ) függvényt, de pontosan ugyanazt az eredményt kapja, ha (1 ) helyettesíti (x ) esetén a ref {Eq4.2.1} egyenletben.

[ begin {aligned} y & = 3x-1 quad { color {Red} text {Equation}} ref {Eq4.2.2} y & = 3 (1) -1 quad color { Piros} text {Helyettesítő} 1 text {for} x y & = 2 quad color {Piros} text {Egyszerűsít. } end {igazítva} nonumber ]

Ezért ((x, y) = (1, 2) ) a rendszer megoldása.

Jelölje be: Annak bemutatására, hogy az ((x, y) = (1, 2) ) megoldás a rendszer megoldása, meg kell mutatnunk, hogy ((x, y) = (1, 2) ) mindkét egyenletnek megfelel ref {Eq4.2.1} és ref {Eq4.2.2}.

((X, y) = (1, 2) ) helyettesítő a ref {Eq4.2.1} egyenletben:

[ kezdődik {igazítva} 2 x-5 y & = - 8 2 (1) -5 (2) & = - 8 2-10 & = - 8 - 8 & = - 8 vég {igazítva} nem szám ]

Így az (1,2) kielégíti a ref {Eq4.2.1} egyenletet.

((X, y) = (1, 2) ) helyettesítő a ref {Eq4.2.2} egyenletben:

[ begin {tömb} {l} {y = 3 x-1} {2 = 3 (1) -1} {2 = 3-1} {2 = 2} vég {tömb } incs szám ]

Így az (1,2) kielégíti a ref {Eq4.2.2} egyenletet.

Mivel ((x, y) = (1, 2) ) mindkét egyenletet kielégíti, ez a rendszer megoldása.

Gyakorlat ( PageIndex {1} )

Oldja meg a következő egyenletrendszert:

[ begin {aligned} 9 x + 2 y & = - 19 y & = 13 + 3 x end {aligned} nonumber ]

Válasz

((-3,4))

Helyettesítési módszer

A helyettesítési módszer a következő lépéseket tartalmazza:

  1. Oldja meg mindkét változó egyik egyenletét.
  2. Helyettesítse az első lépés eredményét a másik egyenletbe. Oldja meg a kapott egyenletet.
  3. Helyettesítse a második lépés eredményét az eredeti rendszeregyenletek egyikére vagy az első lépésből származó egyenletre (amelyik a legkönnyebbnek tűnik), majd oldja meg a maradék ismeretlen változó megkereséséhez.

Példa ( PageIndex {2} )

Oldja meg a következő egyenletrendszert:

[5x-2y = 12 label {Eq4.2.3} ]

[4x + y = 6 label {Eq4.2.4} ]

Megoldás

Az első lépés bármelyik változó bármelyikének megoldása. Ez azt jelenti, hogy megoldhatjuk az (x) vagy az ((y)) első egyenletét, de azt is, hogy először megoldhatnánk a (x) vagy az ((y)) második egyenletét. A négy lehetséges választás közül a (y ) második egyenlet megoldása tűnik a legegyszerűbbnek az indításnak.

[ begin {aligned} 4x + y & = 6 quad { color {Red} text {Equation}} ref {Eq4.2.4} y & = 6-4x quad color {Red} szöveg {Kivonás} 4x szöveg {mindkét oldalról. } end {igazítva} nonumber ]

Ezután cserélje le a (z) ((6-4x) kifejezésre az (y) szót a ref {Eq4.2.3} egyenletben.

[ begin {aligned} 5x-2y & = 12 quad { color {Red} text {Equation}} ref {Eq4.2.3} 5x-2 (6-4x) & = 12 quad { color {Red} text {Substitute} 6-4 x text {for} y text {in}} ref {Eq4.2.3} 5x-12 + 8x & = 12 quad color {Red} text {Terjesztés} -2 13x-12 & = 12 quad color {Piros} text {Egyszerűsítés. } 13x & = 24 quad color {Red} text {Add} 12 text {mindkét oldalra. } x & = dfrac {24} {13} quad color {Piros} text {Ossza fel mindkét oldalt} 13 end {igazítva} nonumber ]

Végül, hogy megtalálja az (y ) - értéket, cserélje le a (z) (x ) kifejezésre a (z) (x =) egyenletet az (y = 6−4x ) egyenletben (helyettesítheti (24/13 ) ) az (x ) kifejezésre a ref {Eq4.2.3} vagy ref {Eq4.2.4} egyenletekben).

[ begin {aligned} y & = 6-4x y & = 6-4 left ( dfrac {24} {13} right) quad color {Red} text {Substitute} 24/13 text {for} x text {in} y = 6-4x y & = dfrac {78} {13} - dfrac {96} {13} quad color {Red} text {Szorozzon, majd egyenértékű frakciókat készítsen. } y & = - dfrac {18} {13} quad color {Piros} text {Egyszerűsít. } end {igazítva} nonumber ]

Ezért ((x, y) = (24/13, −18 / 13) ) a rendszer megoldása.

Jelölje be: A megoldás ellenőrzéséhez használjuk a grafikus számológépet. Először a (24/13 ) könyvtárat tároljuk az (X ) könyvtárba a következő billentyűleütésekkel (lásd az eredményt a ( PageIndex {3} ) ábrán).

Most törölje a számológép képernyőjét a EGYÉRTELMŰ gombot, majd írja be az ref {Eq4.2.3} egyenlet bal oldalát a következő billentyűleütésekkel (lásd az eredményt a ( PageIndex {4} ) ábrán).

Gyakorlat ( PageIndex {2} )

Oldja meg a következő egyenletrendszert:

[ begin {aligned} x-2 y & = 13 4 x-3 y & = 26 end {aligned} nonumber ]

Válasz

((13 / 5,-26 / 5))

Példa ( PageIndex {3} )

Oldja meg a következő egyenletrendszert:

[3x-2y = 6 label {Eq4.2.5} ]

[4x + 5y = 20 label {Eq4.2.6} ]

Megoldás

Ha (- 2 ) -vel osztjuk, könnyebben kezelhetjük a törteket, mint ha osztjuk (3 ), (4 ) vagy (5 ), tehát kezdjük az ( ref {Eq4.2.5} egyenlet megoldásával. ) neked).

[ begin {aligned} 3x-2y & = 6 quad { color {Red} text {Equation}} ref {Eq4.2.5} -2y & = 6-3x quad color {Red} text {Kivonás} 3 x text {mindkét oldalról. } y & = dfrac {6-3 x} {- 2} quad color {Red} text {Ossza meg mindkét oldalt: -2 y & = -3+ dfrac {3} {2 } x quad color {Piros} text {Ossza meg mind a 6 text {, mind a -3 x text {-ot} -2 text {segítségével disztributív tulajdonsággal. } end {igazítva} nonumber ]

(- 3+ dfrac {3} {2} x ) helyettesítse a (z) (y ) egyenletet a ref {Eq4.2.6} egyenletben

[ kezdődik {igazítva}
4x + 5y & = 20 quad { color {Red} text {Equation}} ref {Eq4.2.6}
4x + 5 bal (-3+ dfrac {3} {2} x jobb) & = 20 quad color {Red} text {Substitute} -3+ dfrac {3} {2} x text { neked
4x-15 + dfrac {15} {2} x & = 20 quad color {Piros} text {Terjessze az} 5
8x-30 + 15x & = 40 quad color {Red} text {Törlés törlése szorzással}
23x & = 70 quad color {Red} text {Egyszerűsít. Adjon hozzá} 30 text {mindkét oldalhoz. }
x & = dfrac {70} {23} quad color {Piros} text {Ossza fel mindkét oldalt} 23
end {igazítva} nonumber ]

A (z) (y ) megkereséséhez helyettesítse a (z) (x ) kifejezéssel a (z) (70/23 ) kifejezést az (y = -3 + dfrac {3} {2} x ) egyenletbe. A (70/23 ) helyett a (z) (x ) kifejezés is szerepelhet a ref {Eq4.2.5} vagy ref {Eq4.2.6} egyenletekben, és ugyanazt az eredményt kapja.

[ begin {aligned} y & = -3+ dfrac {3} {2} x y & = -3+ dfrac {3} {2} left ( dfrac {70} {23} jobbra) quad color {Red} text {Substitute} 70/23 text {for} x y & = - dfrac {69} {23} + dfrac {105} {23} quad color {Piros} text {Szoroz. Készítsen egyenértékű frakciókat. } y & = dfrac {36} {23} quad text {Egyszerűsít. } end {igazítva} nonumber ]

Ennélfogva ((x, y) = (70 / 23,36 / 23) ) a rendszer megoldása.

Jelölje be: A megoldás ellenőrzéséhez a grafikus számológéppel keressük meg a rendszer megoldását. Azt már tudjuk, hogy a (3x - 2y = 6 ) egyenértékű a (y = -3 + dfrac {3} {2} x ) értékkel. Oldjuk meg a ref {Eq4.2.6} egyenletet (y ) esetén is.

[ begin {aligned} 4x + 5y & = 20 quad { color {Red} text {Equation}} ref {Eq4.2.6} 5y & = 20-4x quad color {Red} szöveg {Kivonás} 4 x szöveg {mindkét oldalról. } y & = dfrac {20-4 x} {5} quad color {Red} text {Ossza fel mindkét oldalt} 5 y & = 4- dfrac {4} {5} x quad color {Piros} text {Oszd el mind a 20 text {, mind a -4 x text {-ot} 5 text {segítségével a disztributív tulajdonsággal. } end {igazítva} nonumber ]

Írja be (y = -3 + dfrac {3} {2} x ) és (y = 4- dfrac {4} {5} x ) a Y= a grafikus számológép menüje (lásd 4.32. ábra).

megnyomni a ZOOMOLÁS gombot, és válassza a lehetőséget 6: ZStandard. nyomja meg 2. SZÁMÍTÁS hogy kinyissa a KISZÁMÍTJA menüben válassza a lehetőséget 5: metszi, majd nyomja meg a gombot BELÉP nyomja meg egymás után háromszor az „Igen” kifejezést az „Első görbe”, „Második görbe” és a „Találgatás” lekérdezésekhez. Az eredmény a ( PageIndex {7} ) ábrán látható.

A ( PageIndex {7} ) ábra nézőablakának alján vegye figyelembe, hogy a metszéspont koordinátái hogyan vannak tárolva a változókban x és Y. A kurzor mozgatása nélkül, (a változók x és Y tartalmazzák a kurzor koordinátáit), a gombbal lépjen ki a megtekintési ablakból 2. LÉPÉS, amely a MÓD kulcs. Ezután nyomja meg a gombot EGYÉRTELMŰ gombot a számológép képernyőjének törléséhez.

Most nyomja meg a ( mathrm {X}, mathrm {T}, theta, mathrm {n} ) gombot, majd a MATH gomb a számológépen:

Válassza a lehetőséget 1: ►Frac, majd nyomja meg a gombot BELÉP billentyűt a (X ) változó tizedesértékének törtrészértékének előállításához (lásd: ( PageIndex {9} ) ábra).

Ismételje meg az (Y ) változó eljárását. Belép:

Gyakorlat ( PageIndex {3} )

Oldja meg a következő egyenletrendszert:

[ begin {igazítva} 3 x-5 y & = 3 5 x-6 y & = 2 end {igazítva} nonumber ]

Válasz

((-8 / 7,-9 / 7))

Kivételes esetek áttekintve

Teljesen lehetséges, hogy alkalmazhatja a helyettesítési módszert olyan egyenletrendszerre, amelynek vagy végtelen számú megoldása van, vagy egyáltalán nincs megoldása. Lássuk, mi történik, ha ezt megteszi.

Példa ( PageIndex {4} )

Oldja meg a következő egyenletrendszert:

[2 x + 3 y = 6 címke {Eq4.2.7} ]

[y = - dfrac {2} {3} x + 4 label {Eq4.2.8} ]

Megoldás

A ref {Eq4.2.8} egyenlet már megoldott a (y ) kifejezésre, ezért helyettesítsük (- dfrac {2} {3} x + 4 ) az (y ) kifejezésre a ref {Eq4 egyenletben. 2.7}.

[ begin {aligned} 2x + 3y & = 6 quad { color {Red} text {Equation}} ref {Eq4.2.7} 2x + 3 left (- dfrac {2} {3 } x + 4 jobbra) & = 6 quad color {Red} text {Substitute} - dfrac {2} {3} x + 4 text {for} y 2x-2x + 12 & = 6 quad color {Red} text {Ossza meg a} 3 12 & = 6 quad color {Red} text {Egyszerűsítse. } end {igazítva} nonumber ]

Jóság! Mi történt a (x )? Hogyan kellene megoldanunk az (x) -t ebben a helyzetben? Azonban vegye figyelembe, hogy az eredményül kapott (12 = 6 ) állítás hamis, függetlenül attól, hogy mit használunk (x ) és (y ). Ez arra utal, hogy nincsenek megoldások. Talán párhuzamos vonalakkal van dolgunk?

Oldjuk meg a ref {Eq4.2.7} egyenletet a (y ) kifejezésre, az egyenlet lejtés-metszés alakba helyezésével segítsük a helyzet meghatározását.

[ begin {aligned} 2x + 3y & = 6 quad { color {Red} text {Equation}} ref {Eq4.2.7} 3y & = -2x + 6 quad color {Red} text {Kivonás} 2 x text {mindkét oldalról. } y & = - dfrac {2} {3} x + 2 quad color {Red} text {Ossza fel mindkét oldalt} 3 end {igazítva} nonumber ]

Így rendszerünk ekvivalens a következő két egyenlettel.

[ begin {aligned} y & = - dfrac {2} {3} x + 2 y & = - dfrac {2} {3} x + 4 end {aligned} nonumber ]

Ezeknek a vonalaknak ugyanaz a meredeksége (- 2/3 ), de eltér (y ) - elfogja (az egyiknek van (y ) - elfogja ((0,2) ), a másiknak (y ) - lehallgatás ((0,4) )). Ezért ez két különálló párhuzamos vonal, és a rendszernek nincs megoldása.

Gyakorlat ( PageIndex {4} )

Oldja meg a következő egyenletrendszert:

[ begin {aligned} x & = dfrac {4} {3} y-7 6 x-8 y & = - 3 end {aligned} nonumber ]

Válasz

nincs megoldás

Példa ( PageIndex {5} )

Oldja meg a következő egyenletrendszert:

[2x-6y = -8 label {Eq4.2.9} ]

[x = 3y-4 label {Eq4.2.10} ]

Megoldás

A (z) ref {Eq4.2.10} egyenlet már megoldva a (z) (x ) kifejezésre, ezért helyettesítsük a (z) (3y − 4 ) kifejezésre az (x) egyenletet a ref {Eq4.2.9} egyenletben.

[ begin {aligned} 2x-6y & = -8 quad { color {Red} text {Equation}} ref {Eq4.2.9} 2 (3y-4) -6y & = -8 quad color {Red} text {Substitute} 3 y-4 text {for} x 6y-8-6y & = -8 quad color {Red} text {Terjessze a} 2 -8 & = -8 quad color {Piros} text {Egyszerűsít. } end {igazítva} nonumber ]

Jóság! Mi történt a (x )? Hogyan kellene megoldanunk az (x) -t ebben a helyzetben? Azonban vegye figyelembe, hogy az eredményül kapott (- 8 = −8 ) állítás ezúttal igaz állítás. Talán ez arra utal, hogy ugyanazzal a vonallal van dolgunk? Helyezzük mindkét ref {Eq4.2.9} és ref {Eq4.2.10} egyenletet lejtés-elfogó formába, hogy össze tudjuk hasonlítani őket.

Oldja meg a ref {Eq4.2.9} egyenletet (y ) számára:

[ begin {aligned} 2 x-6 y & = - 8 - 6 y & = - 2 x-8 y & = dfrac {-2 x-8} {- 6} y & = dfrac {1} {3} x + dfrac {4} {3} end {igazítva} nonumber ]

Oldja meg a ref {Eq4.2.10} egyenletet (y ) számára:

[ begin {aligned} x & = 3 y-4 x + 4 & = 3 y dfrac {x + 4} {3} & = y y & = dfrac {1} {3 } x + dfrac {4} {3} end {aligned} nonumber ]

Ennélfogva a vonalaknak ugyanaz a meredeksége és ugyanaz az (y ) - metszéspontja, és pontosan ugyanazok a vonalak. Így végtelen sok megoldás létezik. Valójában bármelyik vonal bármely pontja megoldás. Példák a megoldási pontokra: ((- 4,0) ), ((- 1,1) ) és ((2,2) ).

Gyakorlat ( PageIndex {5} )

Oldja meg a következő egyenletrendszert:

[ begin {igazítva} -28 x + 14 y & = - 126 y & = 2 x-9 end {igazítva} nonumber ]

Válasz

Végtelen sok megoldás létezik. Példák a megoldási pontokra: ((0, −9) ), ((5,1) ) és ((- 3, −15) ).

Tipp

Ha az egyik egyenletet egy másikra cseréli, és a változó eltűnik, vegye figyelembe:

  1. Ha az eredményül kapott állítás hamis, akkor két különálló párhuzamos vonal van, és nincs megoldás.
  2. Ha a kapott állítás igaz, akkor ugyanazok a sorok vannak, és végtelen sok megoldás létezik.

Algebra 4.2 Egyenletrendszerek megoldása helyettesítési módszerrel

Az 5 lépés a rendszerek megoldására a helyettesítési módszer alkalmazásával.

1. _______ az egyik egyenlet egyik változója.

2. _______ az 1. lépésben talált mennyiség a másik egyenletbe.

3. _______ a kapott egyenlet.

4 .________ az érték a 3. lépéstől az eredeti egyenletek egyikébe. Ezután ______ a maradék változóra.

5. _______ a megoldás mindkét eredeti egyenletben.

Ha olyan megoldásra jut, amely nem egyenlő, például 4 = 6, hogyan kell megírni a választ?

Ez azt jelenti, hogy a megoldáskészlet ________ vonalat képvisel.

A KONTRADIKCIÓS RENDSZER ÖSSZEFÜGGETLEN

Ha egyenlő megoldásra jut, mint pl 8=8 és ezt kapta utána y = -2x + 4 az első egyenlet megoldása volt, hogyan kell megírni a választ?

Ez azt jelenti, hogy a megoldáskészlet a ___________ sort képviseli.

AZONOSSÁGI EGYENLETEK FÜGGŐEK

Az egyik szám 3-mal kevesebb, mint a másik szám kétszerese. Ha két szám összege 27, keresse meg a számokat.

1. Legyen ____ egy szám.
2. Legyen ____ egyenlő a másik számmal.
3. Írja le az egyik szám egyenletét a másikra! Például: x = ___y - __
4. Használja a helyettesítési módszert.


5.2 Egyenletrendszerek megoldása helyettesítéssel

A lineáris egyenletrendszerek grafikával történő megoldása jó módszer az esetlegesen megjelenő megoldások típusainak vizualizálására. Sok esetben azonban egy rendszer grafikus megoldása kényelmetlen vagy pontatlan. Ha a grafikonok túlmutatnak a kis rácson a x és y −10 és 10 között egyaránt nehézkes lehet a vonalak ábrázolása. És ha a rendszer megoldása nem egész szám, akkor nehéz lehet pontosan kiolvasni az értékeiket egy grafikonból.

Ebben a szakaszban lineáris egyenletrendszereket oldunk meg a helyettesítési módszerrel.

Oldja meg az egyenletrendszert helyettesítéssel

Ugyanazt a rendszert fogjuk használni, amelyet először használtunk a grafikonok készítéséhez.

Először valamelyik egyenletet megoldjuk x vagy y. Bármelyik egyenletet választhatjuk és bármelyik változóra megoldhatjuk - de megpróbálunk olyan választást hozni, amely megkönnyíti a munkát.

Ezután ezt a kifejezést helyettesítjük a másik egyenlettel. Az eredmény egy egyenlet, amelynek csak egy változója van - és tudjuk, hogyan lehet ezeket megoldani!

Miután megtaláltuk az egyik változó értékét, ezt az értéket behelyettesítjük az egyik eredeti egyenletbe, és megoldjuk a másik változót. Végül ellenőrizzük a megoldásunkat és megbizonyosodunk arról, hogy mindkét egyenlet igaz-e.

Ezeket a lépéseket most az 5.13. Példában töltjük ki.

5.13. Példa

Hogyan lehet megoldani az egyenletrendszert helyettesítéssel

Oldja meg a rendszert helyettesítéssel. <2 x + y = 7 x - 2 y = 6 <2 x + y = 7 x - 2 y = 6


Hogyan lehet megoldani az egyenletrendszereket helyettesítéssel

A helyettesítés a leggyorsabb módszer két változóból álló két egyenlet rendszerének megoldására. A módszerrel három vagy több egyenletből álló rendszer megoldása is megtalálható három vagy több változóban, de ez tovább tart.

Ebben a leckében 2 lineáris egyenlet rendszerének 2 változóban történő megoldásával fogunk beszélgetni.

Egyenletrendszerek megoldása helyettesítéssel

A helyettesítési módszer három lépést tartalmaz. Ők:

& emsp & # 10031 Átrendezze az egyenletet az egyik oldalon levő változók elkülönítésére.

& emsp & # 10031 Helyezze be az így kapott kifejezést a másik egyenletbe, hogy megoldja a másik változót.

& emsp & # 10031 Csatlakoztassa az értéket az egyik egyenletbe az eredetileg izolált változó megoldására.

Értsük meg ennek a lineáris rendszernek a lépéseit.

A fenti rendszerben az y változót izoláljuk. Tehát az 1. lépés már teljesült. Most helyettesítsük az y kifejezést a második egyenletben.

A disztribúciós tulajdonság alkalmazásával:

Hasonló kifejezések kombinálásával kapjuk:

Mindkét oldalból kivonva 12-t:

Mindkét oldalt elosztva 7-vel kapjuk:

7x7 = 77

Most az utolsó lépés! Ezt az x értéket vissza kell dugnunk az egyik egyenletbe. Csatlakoztassuk y = x + 6-ba.

Így a lineáris rendszer megoldása (1, 7).

Nézzünk meg egy másik példát.

Oldjuk meg 4x - 6y = –16 és 8x + 2y = 24 szubsztitúciós módszerrel.

Válasszuk ezúttal a második egyenletet. Megoldva y második egyenletét, kapjuk:

Most az y egyenletet helyettesítve az első egyenletben:

Ezt az x-értéket visszahelyezhetjük a megadott egyenletek bármelyikébe, és megoldhatjuk y-ra.

Átrendeztük a 2. egyenletet, és van egy kifejezés y minden halmazra!

Most már csak annyit kell tennünk, hogy csak behelyettesítjük az x értékét ebbe.

Így a megoldás (x, y) = (2, 4).

Ellenőrizze megoldását!
Az x és y értékek helyettesítésével az egyenletekben ellenőrizheti, hogy megfelelő-e a megoldása.
A (2, 4) csatlakozást az 1. egyenlethez a következőket kapja:
⇨ 4(2) – 6(4) = –16
8 – 24 = –16
–16 = –16 ✔

A (2, 4) csatlakozást a 2. egyenletbe kapva:
⇨ 8(2) + 2(4) = 24
16 + 8 = 24
24 = 24 ✔

Melyik változót kell elkülöníteni, ha egy rendszert helyettesítéssel oldunk meg

Nem számít, melyik egyenletet választja, vagy melyik változót oldja meg először, a rendszer megoldása ugyanaz marad. Vegyünk egy példát ennek a ténynek a szemléltetésére.

Oldja meg ezt a rendszert helyettesítéssel.

Megmutattuk az x-gyel és y-vel kezdődő lépésenkénti megoldást.

Az x elkülönítése az 1. egyenletből:

& ensp & # 8680 –x + y - y = –4 - y
& emsp & emsp [y levonása mindkét oldalról]

& ensp & # 8680 –x = –4 - y & emsp [Hasonló kifejezések kombinálása]

& ensp & # 8680 x = 4 + y & emsp [Szorzás –1-gyel]

Most, helyettesítve az x-et a 2. egyenletben, megvan:

& ensp & # 8680 4 (4) + 4y - 3y = 10
& emsp & emsp [Elosztó tulajdonság alkalmazása]

& ensp & # 8680 16 + y = 10 & emsp [Hasonló kifejezések kombinálása]

& ensp & # 8680 16 + y - 16 = 10 - 16
& emsp & emsp [16 levonása mindkét oldalról]

Ha visszahelyezzük y-t x = 4 + y-be, akkor kapjuk:

Ezért a megoldási halmaz (–2, –6).

Ha elkülönítjük y-t az 1. egyenletből, akkor:

& ensp & # 8680 –x + y + x = –4 + x & emsp [x hozzáadása mindkét oldalhoz]

& ensp & # 8680 y = –4 + x & emsp [Hasonló kifejezések kombinálása]

Most, ha y-t helyettesítünk a 2. egyenletben, megvan:

& ensp & # 8680 4x - 3 (–4) - 3x = 10
& emsp & emsp [Elosztó tulajdonság alkalmazása]

& ensp & # 8680 x + 12 = 10 & emsp [Hasonló kifejezések kombinálása]

& ensp & # 8680 x + 12 - 12 = 10 - 12
& emsp & emsp [12 kivonása mindkét oldalról]

Csatlakoztatva x-et y = –4 + x-be, kapjuk:

Ezért a megoldási halmaz (–2, –6).

Amint láthatja, a megoldás mindkét esetben ugyanaz. Tehát kezdje el a legkényelmesebb és legegyszerűbb lépést.

A lényeg, amit eddig tanultunk!

Két egyenletben lévő egyenletrendszer megoldása helyettesítéssel egyszerű és gyors!

Helyettesítéssel történő megoldáshoz háromlépcsős folyamatot kell követnie, amely magában foglalja egy változó izolálását, a kifejezés helyettesítését és az érték újbóli helyettesítését.

Nem számít, melyik egyenletet választja, és melyik változót oldja meg először, az egyenletrendszer megoldása ugyanaz marad.

Finomítsa gyakorlását ingyenes nyomtatható, lineáris egyenletek megoldási rendszereivel!


Nyílt források a Community College Algebra számára

A 4.1 szakaszban az egyenletrendszerek grafikonos megoldására összpontosítottunk. Amellett, hogy időigényes, a grafikus ábrázolás kényelmetlen módszer lehet a pontos megoldás meghatározására, ha az oldat nagy számokkal, törtekkel vagy tizedesjegyekkel rendelkezik. Két szimbolikus módszer létezik a lineáris egyenletrendszerek megoldására, és ebben a részben az egyiket használjuk: a helyettesítést.

4.2.1. Ábra Alternatív videó lecke

4.2.1. Szakasz Az egyenletrendszerek megoldása helyettesítéssel

4.2.2. Példa Az interjú.

2014-ben a New York Times 1 (nyti.ms/2pupebT) a következőket tette közzé a filmről: „Az interjú”:

Az „Interjú” nagyjából ( $ 15 ) millió online értékesítést és kölcsönzést generált az elérhetőség első négy napja alatt - közölte vasárnap a Sony Pictures.

A Sony nem közölte, hogy ebből mennyi volt a digitális bérleti díjak ( $ 6 ) és az ( $ 15 ) eladások aránya között. A stúdió szerint összességében körülbelül kétmillió tranzakció történt.

Néhány nappal később Joey Devilla okosan rámutatott blogjában 2 http://www.joeydevilla.com/2014/12/31/, hogy elegendő információ van megadva ahhoz, hogy megtalálják az eladások és a bérleti díjak összegét. Az algebra segítségével felírhatunk egy egyenletrendszert és megoldhatjuk a két mennyiség megtalálásához. 3 Bár a megadott információk közelítő értékeket használnak, a megoldások, amelyeket találunk, szintén csak közelítések lesznek.

Először meghatározunk változókat. Két változóra van szükségünk, mert két ismeretlen mennyiség van: hány eladás és hány bérlet volt. Legyen (r ) a bérleti tranzakciók száma, az (s ) pedig az értékesítési tranzakciók száma.

Ha nem biztos abban, hogyan írjon egyenletet a háttérinformációkból, használja az egységeket a segítségére. Az egyenletben szereplő egyes tagok egységeinek meg kell egyezniük, mert csak hasonló mennyiségeket adhatunk hozzá. A (r ) és az (s ) egyaránt tranzakciókban van. A cikk szerint a tranzakciók teljes száma (2 ) millió. Tehát első egyenletünk összeadja a bérleti és értékesítési tranzakciók teljes számát, és ezt (2 ) millióra állítja. Az egyenletünk:

Az egyes kölcsönzések ára ( $ 6 text <.> ) Volt. Ez azt jelenti, hogy a probléma megadta a mérték (6 , frac < text> < szöveg> ) dolgozni. A kamategység azt javasolja, hogy ezt meg kell szorozni valamivel, amelyet tranzakciókban mértek. Van értelme szorozni (r text <,> ), majd a bérleti díjakból származó dollárok száma (6r text <.> ) Volt. Hasonlóképpen, az egyes eladások ára ( $ 15 text <,> ) tehát az eladásokból származó bevétel (15s text <.> ) volt. A teljes bevétel ( $ 15 ) millió volt, amit ezzel az egyenlettel tudunk képviselni:

Itt van az egyenletrendszerünk:

A rendszer megoldásához a módszert fogjuk használni. Az ötlet az, hogy használja egy egyenlet egy olyan kifejezés megtalálására, amely megegyezik (r ), de okosan nem használja a „ (r text <.> )” változót. Ezután cserélje le ezt az (r ) kifejezésre a Egyéb egyenlet. Így marad egy egyenlet, aminek csak van egy változó.

Az első egyenlet a rendszerből könnyen megoldható a (r text <:> ) esetében

Ez azt mondja nekünk, hogy a (2 <,> 000 <,> 000-s ) kifejezés egyenlő (r text <,> ), így meg tudjuk helyettes (r ) a második egyenletben:

Most már van egy egyenletünk csak egy változóval, (s text <,> ), amelyet megoldunk:

kezdődik 6 (2 <,> 000 <,> 000-s) + 15s amp = 15 <,> 000 <,> 000 12 <,> 000 <,> 000-6s + 15s amp = 15 <,> 000 <,> 000 12 <,> 000 <,> 000 + 9s amp = 15 <,> 000 <,> 000 9s amp = 3 <,> 000 <,> 000 felosztás < 9s> <9> amp = osztás <3 <,> 000 <,> 000> <9> s amp = 333 <,> 333. overline <3> end

Ezen a ponton tudjuk, hogy (s = 333 <,> 333. overline <3> text <.> ) Ez azt mondja nekünk, hogy a (2 ) millió tranzakcióból nagyjából (333 <, > 333 ) az online értékesítésből származnak. Emlékezzünk arra, hogy megoldottuk az első egyenletet a (r text <,> ) kifejezésre és megtaláltuk a (r = 2 <,> 000 <,> 000-s text <.> )

Válaszunk ellenőrzéséhez meglátjuk, hogy (s = 333 <,> 333. overline <3> ) és (r = 1 <,> 666 <,> 666. overline <6> ) eredeti egyenletek igaz:

Összefoglalva: nagyjából (333 <,> 333 ) példányt adtak el és nagyjából (1 <,> 666 <,> 667 ) példányt béreltek.

Megjegyzés 4.2.3.

A 4.2.2 példában mi választotta a (r + s = 2 <,> 000 <,> 000 ) egyenlet megoldására (r text <.> ) ugyanolyan könnyen megoldhattuk volna a (s) kifejezésre és helyettesíthettük volna ezt az eredményt helyette a második egyenletbe. Az összefoglaló következtetés ugyanaz lett volna.

Megjegyzés 4.2.4.

A 4.2.2 példában kerekítettük a megoldási értékeket, mert a probléma összefüggésében csak egész számoknak van értelme. Rendben volt kerekíteni, mert az eredeti információ, amellyel dolgozni kellett, kerek volt. Valójában rendben lenne még jobban kerekíteni (s = 330 <,> 000 ) és (r = 1 <,> 700 <,> 000 text <,> ) értékekre, amíg világosan kommunikálunk hogy kerekítettünk és értékeink durvaak.

Más gyakorlatokban, ahol nincs összefüggés és semmi sem utal arra, hogy a megadott számok közelítőek, nem megfelelő kerekíteni, és minden választ meg kell adni a pontos értékükkel.

4.2.5. Példa

Oldja meg az egyenletrendszert helyettesítéssel:

A helyettesítés használatához meg kell oldanunk a egy változók közül egy egyenleteink közül. Mindkét egyenletet megnézve a legkönnyebb megoldani az (x) értéket az első egyenletben:

Ezután a második egyenletben szereplő (x ) -et (8-2y text <,> ) helyettesítjük, és csak egy változóban kapunk lineáris egyenletet, (y text <,> ), amelyet megoldhatunk :

Most, hogy megvan az (y text <,> ) értéke, meg kell találnunk a (x text <.> ) Értékét. Már megoldottuk a (x text <,> első egyenletét ) tehát ez a legkönnyebben alkalmazható egyenlet.

A megoldás ellenőrzéséhez a (z) (x ) -et (4 ) -re és az ((y ) -re (2 ) -re cseréljük minden egyenletben:

Ekkor arra a következtetésre jutunk, hogy ez az egyenletrendszer akkor igaz, ha (x = 4 ) és (y = 2 text <.> ) Megoldásunk a ((4,2) ) pont, és megírjuk a megoldást állítsa be ( <(4,2) > text <.> )

4.2.6. Ellenőrző pont.
4.2.7. Példa

Oldja meg ezt az egyenletrendszert helyettesítéssel:

Meg kell oldanunk egy változók közül egy egyenleteink közül. Mindkét egyenletet megnézve a második egyenletben a legkönnyebben megoldható (y ). Az (y ) együttható abban az egyenletben a legkisebb.

Ne feledje, hogy ebben a példában vannak törtek, amint megoldjuk a (y text <.> ) Függvényt. Vigyáznunk kell a következő lépésekkel, hogy a törtek számtana helyes legyen.

Az első egyenlet (y ) helyére írja le a ( frac <11> <2> + frac <5> <2> x text <,> ) kifejezést, így egy lineáris egyenletet kapunk csak egy változóban, ( x text <,> ), amelyeket megoldhatunk:

Most, hogy megvan az (x text <,> ) értéke, meg kell találnunk a (y text <.> ) Értékét. Már megoldottuk a (y text <,> második egyenletét ) tehát ez a legkönnyebben alkalmazható egyenlet.

A megoldás ellenőrzéséhez az (x ) -et (- 3 ) -re cseréljük, és (y ) -et (- 2 ) -re cseréljük minden egyenletbe:

Ekkor arra a következtetésre jutunk, hogy ez az egyenletrendszer akkor igaz, ha (x = -3 ) és (y = -2 text <.> ) Megoldásunk a ((- 3, -2) ) pont és a megoldást ( <(- 3, -2) > text <.> formátumban írjuk

4.2.8. Példa A tört nevezők törlése a megoldás előtt.

Oldja meg az egyenletrendszert a helyettesítési módszerrel:

Ha az egyenletrendszer frakció-együtthatóval rendelkezik, hasznos lehet olyan lépéseket tenni, amelyek a törtrészeket egész számokkal helyettesítik. Minden egyenlettel megszorozhatjuk mindkét oldalt az összes nevező legkisebb közös többszörösével.

Az első egyenletben a nevezők legkisebb közös többszöröse (6 text <,> ), tehát:

A második egyenletben a nevezők legkisebb közös többszöröse (4 text <,> ), tehát:

Most megvan ez a rendszer, amely egyenértékű az eredeti egyenletrendszerrel, de nincsenek frakcióegyütthatók:

A második egyenlet már megoldott (x text <,> ) esetén, így az első egyenletben szereplő (x ) -et (2y + 4 text <,> ) helyettesítjük és megvan:

És megoldottuk a (y text <.> ) Megoldást: Az ((x text <,> ) megtalálásához ismerjük (x = 2y + 4 text <,> ), így:

A megoldás ((- 2, -3) text <.> ) A megoldás ellenőrzése gyakorlatként marad.

Ellenőrző pont 4.2.9.

Összefoglaló jellegű, itt található az általános eljárás.

4.2.10. Folyamat Egyenletrendszerek megoldása helyettesítéssel.

Az egyenletrendszer helyettesítéssel történő megoldása

Oldja meg az egyik változó egyik egyenletét.

Helyettesítse ezt a kifejezést a Egyéb egyenlet. Most már csak egy változó lehet ebben az egyenletben.

Oldja meg az egyenletet az egyetlen megmaradó változóra.

Helyettesítse ezt az értéket egy korábbi egyenletbe, és oldja meg a másik változót.

Ellenőrizze a megoldást az eredeti egyenletekben.

4.2.2. Szakasz Az egyenletrendszerek alkalmazása

4.2.11. Példa Két különböző kamatláb.

Notah egy hónap alatt nagy összegben vásárolt két hitelkártyájával, és összesen ( $ 8 <,> 400 ) adósságot vállalt a két kártyából. Az első hónapban nem fizetett, így a két hitelkártya-tartozás mindegyike kamatot kezdett felhalmozni. Abban a hónapban Visa kártyája (2 \% ), Mastercard (2,5 \% ) kamatot számított fel. Emiatt Notah teljes adóssága ( $ 178 text <.> ) Növekedett. Mennyit költött Notah az egyes kártyákra?

Először két változót határozunk meg a két ismeretlenünk alapján. Legyen (v ) a Visa kártyára felszámított összeg (dollárban), és (m ) legyen a Mastercard által felszámított összeg (dollárban).

Az egyenleteink meghatározásához vegye figyelembe, hogy két különböző összeget kapunk. Ezeket fogjuk használni a két egyenletünk kialakításához. A teljes felszámított összeg ( $ 8 <,> 400 ), tehát:

A másik összeg, amelyet kaptunk, a kamat teljes összege, ( $ 178 text <,> ), amely szintén dollárban értendő. A Visa-nak (v ) dollárt kellett felszámítania, és (2 \% ) kamatot halmoz fel. Tehát (0,02v ) az a dollár kamatláb, amely e kártya használatából származik. Hasonlóképpen, (0,025m ) a Mastercard használatából származó kamat összeg dollárban. Együtt:

Ennek a rendszernek a helyettesítéssel történő megoldásához vegye figyelembe, hogy könnyebb megoldani az első egyenlet egyik változójának egyikét. Megoldjuk a (v text <:> ) egyenletét

Most a (8400-m ) helyett a (v ) szerepel a második egyenletben:

Végül meghatározhatjuk a (v ) értékét a korábbi egyenlet használatával, ahol izoláltunk (v text <:> )

Összefoglalva: Notah ( 6400 dollárt ) fizetett a Visa-hoz, ( 2000 dollárt ) pedig a Mastercard-hoz. Ellenőriznünk kell, hogy ezek a számok megoldást jelentenek-e eredeti rendszerünkre és hogy értelme van a kontextusban. (Például, ha ezek közül a számok közül az egyik negatív lenne, vagy valami olyan kicsi lenne, mint a ((. 50 text <,> ), akkor nem lenne értelme hitelkártya-tartozásnak.)

A következő két példát azért hívjuk, mert két mennyiség összekeverésével kombináció képződik, és szeretnénk megtudni, hogy az egyes mennyiségekből mennyi keverhető össze.

4.2.12. Példa Megoldások keverése két különböző koncentrációval.

LaVonda aprólékos csapos, és (600 ) milliliter Rob Roy-t, egy alkoholtartalmú koktélt kell kiszolgálni, amely térfogatszázalékban (34 \%) alkohol. A fő összetevők a scotch, amely (42 \% ) alkohol, és a vermouth, amely (18 \% ) alkohol. Hány milliliter minden összetevőt kell összekevernie a szükséges koncentráció elérése érdekében?

A két ismeretlen az egyes összetevők mennyisége. Legyen (s ) a scotch mennyisége (ml-ben), és (v ) legyen a vermut mennyisége (ml-ben).

A feladatban megadott mennyiség 600 ml. Mivel ez a vegyes ital teljes térfogata, rendelkeznünk kell:

A második egyenlet felépítéséhez gondolkodnunk kell a skót, a vermut és a Rob Roy alkoholkoncentrációján. Az ilyen százalékok helyes elgondolása bonyolult lehet. Az egyik stratégia az összeg (in mL ) of alcohol being mixed. If we have (s) milliliters of scotch that is (42\%) alcohol, then (0.42s) is the actual amount (in mL ) of alcohol in that scotch. Similarly, (0.18v) is the amount of alcohol in the vermouth. And the final cocktail is 600 mL of liquid that is (34\%) alcohol, so it has (0.34(600)=204) milliliters of alcohol. All this means:

To solve this system, we'll solve for (s) in the first equation:

And then substitute (s) in the second equation with (600-v ext<:>)

As a last step, we will determine (s) using the equation where we had isolated (s ext<:>)

In summary, LaVonda needs to combine 400 mL of scotch with 200 mL of vermouth to create 600 mL of Rob Roy that is (34\%) alcohol by volume.

As a check for Example 4.2.12, we will use to see that our solution is reasonable. Since LaVonda is making a (34\%) solution, she would need to use more of the (42\%) concentration than the (18\%) concentration, because (34\%) is closer to (42\%) than to (18\% ext<.>) This agrees with our answer because we found that she needed 400 mL of the (42\%) solution and 200 mL of the (18\%) solution. This is an added check that we have found reasonable answers.

Example 4.2.13 . Mixing a Coffee Blend.

Desi owns a coffee shop and they want to mix two different types of coffee beans to make a blend that sells for ($12.50) per pound. They have some coffee beans from Columbia that sell for ($9.00) per pound and some coffee beans from Honduras that sell for ($14.00) per pound. How many pounds of each should they mix to make (30) pounds of the blend?

Before we begin, it may be helpful to try to estimate the solution. Let's compare the three prices. Since ($12.50) is between the prices of ($9.00) and ($14.00 ext<,>) this mixture is possible. Now we need to estimate the amount of each type needed. The price of the blend (($12.50) per pound) is closer to the higher priced beans (($14.00) per pound) than the lower priced beans (($9.00) per pound). So we will need to use more of that type. Keeping in mind that we need a total of (30) pounds, we roughly estimate (20) pounds of the ($14.00) Honduran beans and (10) pounds of the ($9.00) Columbian beans. How good is our estimate? Next we will solve this exercise exactly.

To set up our system of equations we define variables, letting (C) be the amount of Columbian coffee beans (in pounds) and (H) be the amount of Honduran coffee beans (in pounds).

The equations in our system will come from the total amount of beans and the total cost. The equation for the total amount of beans can be written as:

To build the second equation, we have to think about the cost of all these beans. If we have (C) pounds of Columbian beans that cost ($9.00) per pound, then (9C) is the cost of those beans in dollars. Similarly, (14H) is the cost of the Honduran beans. And the total cost is for (30) pounds of beans priced at ($12.50) per pound, totaling (12.5(30)=37.5) dollars. All this means:

Or without units and carrying out the multiplication on the right:

To solve the system, we'll solve the first equation for (C ext<:>)

Next, we'll substitute (C) in the second equation with (30-H ext<:>)

Since (H=21 ext<,>) we can conclude that (C=9 ext<.>)

In summary, Desi needs to mix (21) pounds of the Honduran coffee beans with (9) pounds of the Columbian coffee beans to create this blend. Our estimate at the beginning was pretty close, so we feel this answer is reasonable.

Subsection 4.2.3 Solving Special Systems of Equations with Substitution

Remember the two special cases we encountered when solving by graphing in Subsection 4.1.2? If the two lines represented by a system of equations have the same slope, then they might be separate lines that never meet, meaning the system has no solutions. Or they might coincide as the same line, in which case there are infinitely many solutions represented by all the points on that line. Let's see what happens when we use the substitution method on each of the special cases.

Example 4.2.14 . A System with No Solution.

Solve the system of equations using the substitution method:

Since the first equation is already solved for (y ext<,>) we will substitute (2x-1) for (y) in the second equation, and we have:

Even though we were only intending to substitute away (y ext<,>) we ended up with an equation where there are no variables at all. This will happen whenever the lines have the same slope. This tells us the system represents either parallel or coinciding lines. Since (2=3) is false no matter what values (x) and (y) might be, there can be no solution to the system. So the lines are parallel and distinct. We write the solution set using the empty set symbol: the solution set is (emptyset ext<.>)

To verify this, re-write the second equation, (4x-2y=3 ext<,>) in slope-intercept form:

So the system is equivalent to:

Now it is easier to see that the two lines have the same slope but different (y)-intercepts. They are parallel and distinct lines, so the system has no solution.

Example 4.2.15 . A System with Infinitely Many Solutions.

Solve the system of equations using the substitution method:

Since (y=2x-1 ext<,>) we will substitute (2x-1) for (y) in the second equation and we have:

Even though we were only intending to substitute away (y ext<,>) we ended up with an equation where there are no variables at all. This will happen whenever the lines have the same slope. This tells us the system represents either parallel or coinciding lines. Since (2=2) is true no matter what values (x) and (y) might be, the system equations are true no matter what (x) is, as long as (y=2x-1 ext<.>) So the lines coincide. We write the solution set as (<(x,y)mid y=2x-1> ext<.>)

To verify this, re-write the second equation, (4x-2y=2 ext<,>) in slope-intercept form:

Now it is easier to see that the two equations represent the same line. Every point on the line is a solution to the system, so the system has infinitely many solutions. The solution set is (<(x,y) mid y=2x-1> ext<.>)

Reading Questions 4.2.4 Reading Questions

Give an example of a system of two equations in (x) and (y) where it would be nicer to solve the system using substitution than by graphing the two lines that the equations define. Explain why substitution would be nicer than graphing for your example system.

What might be a good first step if you have a system of two linear equations in two variables where there are fractions appearing in the equations?

In an application problem, thinking about the can help you understand how to set up equations.


4.2: Solving Systems by Substitution

Systems of Linear Equations:
Solving by Substitution
(page 4 of 7)

The method of solving "by substitution" works by solving one of the equations (you choose which one) for one of the variables (you choose which one), and then plugging this back into the other equation, "substituting" for the chosen variable and solving for the other. Then you back-solve for the first variable.

Here is how it works. (I'll use the same systems as were in a previous page.)

2x &ndash 3y = &ndash2
4
x + y = 24

The idea here is to solve one of the equations for one of the variables, and plug this into the other equation. It does not matter which equation or which variable you pick. There is no right or wrong choice the answer will be the same, regardless. But &mdash some choices may be better than others.

For instance, in this case, can you see that it would probably be simplest to solve the second equation for " y = ", since there is already a y floating around loose in the middle there? I could solve the first equation for either variable, but I'd get fractions, and solving the second equation for x would also give me fractions. It wouldn't be "wrong" to make a different choice, but it would probably be more difficult. Being lazy, I'll solve the second equation for y :

4 x + y = 24
y = &ndash4 x + 24

Now I'll plug this in ("substitute it") for " y " in the first equation, and solve for x :

2x &ndash 3(&ndash4x + 24) = &ndash2
2x + 12x &ndash 72 = &ndash2
14x = 70
x = 5 Copyright © Elizabeth Stapel 2003-2011 All Rights Reserved

Now I can plug this x -value back into either equation, and solve for y . But since I already have an expression for " y = ", it will be simplest to just plug into this:

y = &ndash4(5) + 24 = &ndash20 + 24 = 4

Then the solution is (x, y) = (5, 4) .

Warning: If I had substituted my " &ndash4 x + 24 " expression into the same equation as I'd used to solve for " y = ", I would have gotten a true, but useless, statement:

4x + (&ndash4x + 24) = 24
4x &ndash 4x + 24 = 24
24 = 24

Twenty-four does equal twenty-four, but who cares? So when using substitution, make sure you substitute into the other equation, or you'll just be wasting your time.

y = 36 &ndash 9x
3
x + y/3 = 12

We already know (from the previous lesson ) that these equations are actually both the same line that is, this is a dependent system. We know what this looks like graphically: we get two identical line equations, and a graph with just one line displayed. But what does this look like algebraically?

The first equation is already solved for y , so I'll substitute that into the second equation:

3 x + (36 &ndash 9 x )/3 = 12
3 x + 12 &ndash 3 x = 12
12 = 12

Well, um. yes, twelve does equal twelve, but so what?

I did substitute the first equation into the second equation, so this unhelpful result is not because of some screw-up on my part. It's just that this is what a dependent system looks like when you try to find a solution. Remember that, when you're trying to solve a system, you're trying to use the second equation to narrow down the choices of points on the first equation. You're trying to find the one single point that works in both equations. But in a dependent system, the "second" equation is really just another copy of the first equation, and összes the points on the one line will work in the other line.

In other words, I got an unhelpful result because the second line equation didn't tell me anything new. This tells me that the system is actually dependent, and that the solution is the whole line:

solution: y = 36 &ndash 9x

This is always true, by the way. When you try to solve a system and you get a statement like " 12 = 12 " or " 0 = 0 " &mdash something that's true, but unhelpful (I mean, duh!, of course twelve equals twelve!) &mdash then you have a dependent system. We already knew, from the previous lesson, that this system was dependent, but now you know what the algebra looks like.

(Keep in mind that your text may format the answer to look something like " (t, 36 &ndash 9t) ", or something similar, using some variable, some "parameter", other than " x ". But this "parametrized" form of the solution means the exact same thing as "the solution is the line y = 36 &ndash 9x ".)

7x + 2y = 16
&ndash21
x &ndash 6y = 24

Neither of these equations is particularly easier than the other for solving. I'll get fractions, no matter which equation and which variable I choose. So, um. I guess I'll take the first equation, and I'll solve it for, um, y , because at least the 2 (from the " 2y ") will divide evenly into the 16 .

7x + 2y = 16
2y = &ndash7x + 16
y = &ndash( 7 /2 )x + 8

Now I'll plug this into the other equation:

&ndash21x &ndash 6(&ndash( 7 /2 )x + 8) = 24
&ndash21x + 21x &ndash 48 = 24
&ndash48 = 24

In this case, I got a nonsense result. All my math was right, but I got an obviously wrong answer. So what happened?

Keep in mind that, when solving, you're trying to find where the lines intersect. What if they don't intersect? Then you're going to get some kind of wrong answer when you assume that there is a solution (as I did when I tried to find that solution). We knew, from the previous lesson, that this system represents two parallel lines. But I tried, by substitution, to find the intersection point anyway. And I got a "garbage" result. Since there wasn't any intersection point, my attempt led to utter nonsense.

solution: no solution (inconsistent system)

This is always true, by the way. When you get a nonsense result, this is the algebraic indication that the system of equations is inconsistent.

Note that this is quite different from the previous example. Warning: A true-but-useless result (like " 12 = 12 ") is quite different from a nonsense "garbage" result (like " &ndash48 = 24 "), just as two identical lines are quite different from two parallel lines. Don't confuse the two. A useless result means a dependent system which has a solution (the whole line) a nonsense result means an inconsistent system which has no solution of any kind.


Past Papers | GCSE Papers | AS Papers

In our archive section you can find links to various websites that have old past papers in the pdf format. Enter the search term in the box below and click the 'search archive' button.

Here are 9 results for solving simultaneous equations by substitution:

1. 7_1 LINEAR AND NONLINEAR SYS OF EQNS.pdf
academics.utep.edu
7.1 LINEAR AND NONLINEAR SYSTEMS OF &hellip 2 &bull Use the method of substitution to solve systems of linear equations in two variables. &bull Use the method of substitution to solve systems

2. Simultaneous Equations - Solving by substitution.pdf
www.flinders.edu.au
L SIMULTANEOUS EQUATIONS C entre Solving by &hellip SIMULTANEOUS EQUATIONS. Solving by substitution . This can be checked by substituting back into both original equations to ensure that the left-hand and

3. A18simultsubs.pdf
Title: Simultaneous equations and the method of &hellip Title: Simultaneous equations and the method of substitution. Target: On completion of this worksheet you should be able to solve quadratic and linear simultaneous .

4. web-simultaneous1.pdf
Simultaneous linear equations - Mathematics &hellip 2. Solving simultaneous equations - method of substitution Howcanwehandlethetwoequationsalgebraicallysothatwedonothavetodrawgraphs?We .

5. mc-ty-simultaneous-2009-1.pdf
Simultaneous linear equations - Mathematics &hellip Simultaneous linear equations mc-simultaneous-2009-1 The purpose of this section is to look at the solution of simultaneous linear equations. We will see that solving .


Math Review of Solving Systems by Substitution

One of the ways to solve systems of equations is by graphing the equations. However, graphing the equations is not always the most accurate method to solve them. If one variable in a system is represented in terms of the other variable in the system, the systems can be solved by substitution.

Using Substitution

Suppose one of the equations in the system is x + y = 5 and the other equation is x = y +1. The expression y +1 can be substituted for x, so that y +1 +y =5. Then, there is just one variable so that 2y +1 =5, 2y +1 -1 = 5-1, or 2y = 4, or y =2. In order to check, substitute the value of y to solve for x, such that x +2 = 5, or x +2-2 = 5-2, or x = 3. Check the second equation also, so that 3 =2 +1. That is the way to use substitution to solve a system of equations.

Isolating the Variables

Sometimes, the variables cannot be isolated as easily in a system of equations, but the system of substitution can still be used. Suppose the equations were x-2y = 8 and 2x +y = 8. The first equation can be rearranged such that x = 8 +2y. Using substitution, the second equation then becomes 2(8 +2y) +y =8, or 16 +4y +y =8. As before, there is only one variable, such that 5y = 8-16 or 5y=-8, or y = -8/5. Again, check the value of x, so that x – (2)(-8/5) =8, or x +16/5 =8. (Notice how the sign changes when two negative values are multiplied.) Then multiply both sides by 5, so that 5x +16 = 40, or 5x =24 or x = 24/5. To check the first equation, 24/5 – 2[-8/5] equals 24/5 +16/5 = 40/5, or 8. To check the second equation 2 (24/5) – (8/5) = 48/5 – 8/5) = 40/5 = 8.

Understanding the Problem and Developing a Plan

Math problems that are written in words can often be translated into systems of equations, then solved by using substitution. Suppose the statement were “The sum of two numbers is 82. One number is 12 more than the other. What is the larger number?” The first sentence can be represented by the equation x +y = 82. The second sentence can be represented by the equation x=12 +y.

Problem-Solving: Solving the Problem and Checking the Answer

To solve the problem, take the system of equations and use substitution, so that 12 +y +y = 82, then 2y = 82-12, or 2y = 70, then y = 70/2, or 35. Using the second equation to solve for x, 12 +35 = 47, and using the first equation, 47 +35 = 82.

Interested in math tutoring services? Learn more about how we are assisting thousands of students each academic year.

SchoolTutoring Academy is the premier educational services company for K-12 and college students. We offer tutoring programs for students in K-12, AP classes, and college. To learn more about how we help parents and students in Columbia, SC: visit: Tutoring in Columbia, SC


The Substitution Method

First, let's review how the substitution property works in general.

Substitution Example 1

Let's re-examine system pictured up above.

$ ed = 2x + 1 ext < and > ed = 4x -1 $

We are going to use substitution like we did in review example 2 above.

Now we have 1 equation and 1 unknown, we can solve this problem as the work below shows.

The last step is to again use substitution, in this case we know that x = 1, but in order to find the y value of the solution, we just substitute x = 1 into either equation.

$ y = 2x + 1 y = 2cdot ed <1>+ 1 = 2 + 1 =3 oxed< ext< or you use the other equation>> y = 4x -1 y = 4cdot ed<1>- 1 y = 4 - 1 = 3 oxed < ( 1,3) >$

Substitution Example 2

What is the solution of the system of equations below:

Identify the best equation for substitution and then substitute into other equation.

2. lépés

Substitute the value of x (-4 in this case) into either equation.

$ y = 2x + 1 y = 2cdot ed <-4>+ 1 = -8 + 1 = -7 2y = 3x - 2 2y = 3cdot-4 -2 oxed< ext< or you use the other equation>> 2y = 3x -2 2y = 3 ( ed<-4>) -2 2y = -12 -2 2y = -14 frac<1><2>cdot2y =frac<1><2>cdot-14 y = -7 $

You can also solve the system by graphing and see a picture of the solution below:

Substitution Practice Problems

Problem 1

Solve the system below using substitution

The solution of this system is the point of intersection: (-1, 0).

$ y = x + 1 quad y = 2x + 2 hspace <1.2cm>downarrow hspace <1.4cm>downarrow hspace <6mm>x + 1 = 2x + 2 hspace <7mm> ext<->x hspace <1.4cm> ext<->x hspace <7mm> ule<3.2cm> <0.25mm> hspace <1.7cm>1 = x + 2 hspace <1.6cm> ext<->2 hspace <1.4cm> ext<->2 hspace <7mm> ule<3.2cm> <0.25mm> hspace <1.2cm>-1 = x hspace <1.6cm>downarrow hspace <5mm>y = 2x + 2 hspace <7mm>y = 2 * (-1) + 2 = 0 [5mm] ext hspace <3mm>(-1, 0) $

Problem 2

Use substitution to solve the following system of linear equations:

Set the Two Equations equal to each other then solve for x

Substitute the x value, -2, into the value for 'x' for either equation to determine y coordinate of solution

The solution is the point (-2, -7)

Problem 3

Use the substitution method to solve the system:

This system of lines has a solution at the point (2, 9).

Problem 4

Use substitution to solve the system:

This system has an infinite number of solutions. Because 12x + 4 = 12x is always true for all values of x.

Problem 5

Solve the system of linear equations by substitution

These lines have the same slope (slope = 1) so they never intersect.

Problem 6

Use the substitution method to solve the system:

The solution of this system is (1, 3).

Problem 7

Use substitution to solve the system:

Whenever you arrive at a contradiction such as 3 = 4, your system of linear equations has no solutions.
When you use these methods (substitution, graphing, or elimination) to find the solution what you're really asking is at what


Nézd meg a videót: 4P KIT, a Valeo megoldása a gyárilag beszerelt kettőstömegű lendkerék helyettesítésére (December 2021).